Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.
Интегрирования по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем (1) Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида где - многочлен, а - любая элементарная функция. При этом: 1. если , то 2. если то
Пример 1. = =
Пример 2. = Пример 3. = = В некоторых задачах для вычисления интегралов приходится интегрировать по частям несколько раз. Пример 4. = = = = = Интегрирование по частям возможно и в том случае, если вместо многочлена стоит другая элементарная функция. Пример 5. = = = Таким образом, т.е. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. В этом параграфе мы рассмотрим вычисление следующих интегралов:
1. Рассмотрим интеграл . Преобразуем трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:
где введено обозначение Знак «+» или «-» берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.
Таким образом, = =
Пример 1. Вычислить . Решение. =
=
Пример 2. Вычислить . Решение: = = = .
2. Рассмотрим интеграл следующего вида: Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции с таким умыслом, чтобы в числителе появилась скобка, равная производной от знаменателя:
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
(теперь становится понятной наша хитрость с выделением скобки)
Итак:
Пример 3. Вычислить Решение:
3. Рассмотрим интеграл . Применяя те же преобразования, что и для интегралов , можно показать, что этот интеграл сводится, в зависимости от знака a, к табличным интегралам: = = =
= =
Пример 4. Вычислить . Решение: =
Пример 5. Вычислить .
= 4. Интеграл вида . Этот интеграл вычисляется при помощи преобразований, аналогичных п.2, т.е. выделением в числителе скобки, равной производной от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:
= =
Итак:
Пример 6. Вычислить . Решение: = = = - = = =
Пример 7. Вычислить . Решение: = =
= + =
=
5. Интеграл вида Проведем преобразования: Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции подстановкой
Второй интеграл (обозначим его ) запишем в виде: где мы положили Далее, беря по частям, получаем:
Таким образом, получилось рекурентное соотношение
Для имеем далее ищем полагая далее ищем полагая и т.д.
Пример 8. Вычислить интеграл Запишем рекурентное соотношение: Имеем:
Тогда
|