Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.

Интегрирования по частям.

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем

(1)

Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида где - многочлен, а - любая элементарная функция. При этом:

1. если , то

2. если то

Пример 1.

=

=

Пример 2.

=

Пример 3.

=

=

В некоторых задачах для вычисления интегралов приходится интегрировать по частям несколько раз.

Пример 4.

= = = = =

Интегрирование по частям возможно и в том случае, если вместо многочлена стоит другая элементарная функция.

Пример 5.

= = =

Таким образом, т.е.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.

В этом параграфе мы рассмотрим вычисление следующих интегралов:

1. Рассмотрим интеграл .

Преобразуем трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:

где введено обозначение

Знак «+» или «-» берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.

Таким образом,

= =

Пример 1. Вычислить .

Решение.

=

=

Пример 2. Вычислить .

Решение:

=

= = .

2. Рассмотрим интеграл следующего вида:

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции с таким умыслом, чтобы в числителе появилась скобка, равная производной от знаменателя:

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

(теперь становится понятной наша хитрость с выделением скобки)

Итак:

Пример 3. Вычислить

Решение:

3. Рассмотрим интеграл .

Применяя те же преобразования, что и для интегралов , можно показать, что этот интеграл сводится, в зависимости от знака a, к табличным интегралам:

= =

=

= =

Пример 4. Вычислить .

Решение:

=

Пример 5. Вычислить .

=

4. Интеграл вида .

Этот интеграл вычисляется при помощи преобразований, аналогичных п.2, т.е. выделением в числителе скобки, равной производной от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:

= =

Итак:

Пример 6. Вычислить .

Решение:

= =

= - =

=

=

Пример 7. Вычислить .

Решение:

= =

= + =

=

5. Интеграл вида

Проведем преобразования:

Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции подстановкой

Второй интеграл (обозначим его ) запишем в виде:

где мы положили

Далее, беря по частям, получаем:

Таким образом, получилось рекурентное соотношение

Для имеем

далее ищем полагая

далее ищем полагая и т.д.

Пример 8. Вычислить интеграл

Запишем рекурентное соотношение:

Имеем:

Тогда