ЗАДАНИЕ К2–30

Дано: r₁= 2 см, R₁= 4 см, r₂= 6 см, R₂= 8 см, r₃= 12 см, R₃= 16 см, , t₁=2 c.

РЕШЕНИЕ:

Скорости точек, лежащих на ободах колес радиуса , обозначим через , а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .

Угловые скорости всех колес.

Т.к. , то .

Т.к. колеса 3 и 2 связаны ременной передачей, то или и . Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, , то есть и отсюда .

Скорости , .

, .

При t₁=2 c = 16 (см/с), = 21, 3 (см/с).

Угловое ускорение . , следовательно = = –1, 33(1/с²).

Ускорение . Для т.А , где , . Угловое ускорение = = = –3, 56 (1/с²). Таким образом при t₁=2 c

касательная составляющая (см/с²),

нормальная составляющая = = 3, 6 (см/с²),

полное ускорение = = 7, 9 (см/с²).

Ускорение . Т.к. груз 5 совершает поступательное движение, то . = –7, 1 (см/с²).

ЗАДАНИЕ Д1-30

Дано: =2 кг, =20 м/с, Q=6 Н, R= Н, =2, 5 с, Н, =0, 2.

Найти: - закон движения груза на участке ВС

РЕШЕНИЕ:

Перепишем это уравнение с учетом того, что : . Обозначим и . Тогда , интегрируем: .

Постоянную С₁ находим по начальным условиям: при , что дает . Следовательно . Отсюда получаем

.

При перемещении груза в точку В =2, 5 с, . Тогда

=18, 03 (м/с).

2). При рассмотрении движения груза на участке ВС найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на оси и .

и . Тогда и .

. Обозначим и . Разделяя переменные и интегрируя получим ; при начальных условиях при и . То есть .

После интегрирования: . Т.к. при то и окончательно искомый закон движения груза на участке ВС будет

ЗАДАНИЕ Д3–30

Дано: R= 1, 2 м, 24 кг, 8 кг, 10 с^-1, ОС= R, м, Нм

Найти: – закон изменения угловой скорости платформы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

.

На систему действуют внешние силы: силы тяжести платформы и груза и , реакции и и момент М. Т.к. силы и параллельны оси z, а реакции и пересекают ее, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Тогда и . После интегрирования

. (1)

Для рассматриваемой механической системы , где и – кинетические моменты платформы и груза соответственно.

Платформа вращается вокруг оси z, следовательно . По теореме Гюйгенса ( – момент инерции относительно оси параллельной оси z и проходящей через центр платформы. Но . Тогда

.

Следовательно .

Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы – переносным движением. Тогда .

Т.к. , то . . Тогда, по теореме Вариньона,

= =

=

Из рисунка: = (м), = = = = = = .

Тогда, и

. После подстановки

= .

Тогда уравнение (1) примет вид

.

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при , . Получим

.

Следовательно, искомая зависимость будет иметь вид:

ЗАДАНИЕ Д5–30

Дано: r =0, 6 R, , , , a=30^о, b=60^о.

РЕШЕНИЕ:

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил , , , (направление произвольно). Составим диф. уравнения плоскопараллельного движения:

; (1)

; (2)

; (3)

(положительное направление моментов в направлении вращения барабана при его движении от т.О).

1) Определение . В нашей задаче и . Учтем, что и при качении без скольжения в т. В находится мгновенный центр скоростей. Тогда

, или . (4)

Тогда из уравнения (3) , (5)

Сложив его почленно с (1) получим

= = .

Отсюда, т.к. , .

Интегрируем:

и .

По начальным условиям при и получаем . Окончательно закон движения центра масс принимает вид

.

2) Определение . При качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству

. (6)

Из уравнения (2), учитывая, что ,

= =

Из уравнения (5), учитывая, что

. Отсюда, т.к.

Подставим значения и в неравенство (6) , откуда . Таким образом, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения

.