ЗАДАНИЕ К2–30
Дано: r1= 2 см, R1= 4 см, r2= 6 см, R2= 8 см, r3= 12 см, R3= 16 см, , t1=2 c.
Найти: скорости , , ускорения , , .
РЕШЕНИЕ:
Скорости точек, лежащих на ободах колес радиуса , обозначим через , а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .
Угловые скорости всех колес.
Т.к. , то .
Т.к. колеса 3 и 2 связаны ременной передачей, то или и . Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, , то есть и отсюда .
Скорости , .
, .
При t1=2 c = 16 (см/с), = 21, 3 (см/с).
Угловое ускорение . , следовательно = = –1, 33(1/с2).
Ускорение . Для т.А , где , . Угловое ускорение = = = –3, 56 (1/с2). Таким образом при t1=2 c
касательная составляющая (см/с2),
нормальная составляющая = = 3, 6 (см/с2),
полное ускорение = = 7, 9 (см/с2).
Ускорение . Т.к. груз 5 совершает поступательное движение, то . = –7, 1 (см/с2).
v В
| v С
| e2
| a А
| a 5
| см/с
| 1/с2
| см/с2
|
| 21, 3
| –1, 33
| 7, 9
| –7, 1
|
ЗАДАНИЕ Д1-30
Дано: =2 кг, =20 м/с, Q=6 Н, R= Н, =2, 5 с, Н, =0, 2.
Найти: - закон движения груза на участке ВС
РЕШЕНИЕ:
1) Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. На груз действуют сила тяжести , реакция стенки постоянная сила и сила сопротивления . Проведем ось вдоль АВ. Составим дифференциальное уравнение движение в проекции на эту ось: или .
Перепишем это уравнение с учетом того, что : . Обозначим и . Тогда , интегрируем: .
Постоянную С1 находим по начальным условиям: при , что дает . Следовательно . Отсюда получаем
.
При перемещении груза в точку В =2, 5 с, . Тогда
=18, 03 (м/с).
2). При рассмотрении движения груза на участке ВС найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на оси и .
и . Тогда и .
. Обозначим и . Разделяя переменные и интегрируя получим ; при начальных условиях при и . То есть .
После интегрирования: . Т.к. при то и окончательно искомый закон движения груза на участке ВС будет

ЗАДАНИЕ Д3–30
Дано: R= 1, 2 м, 24 кг, 8 кг, 10 с-1, ОС= R, м, Нм
Найти: – закон изменения угловой скорости платформы
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:
.
На систему действуют внешние силы: силы тяжести платформы и груза и , реакции и и момент М. Т.к. силы и параллельны оси z, а реакции и пересекают ее, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Тогда и . После интегрирования
. (1)
Для рассматриваемой механической системы , где и – кинетические моменты платформы и груза соответственно.
Платформа вращается вокруг оси z, следовательно . По теореме Гюйгенса ( – момент инерции относительно оси параллельной оси z и проходящей через центр платформы. Но . Тогда
.
Следовательно .
Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы – переносным движением. Тогда .
Т.к. , то . . Тогда, по теореме Вариньона,
= =
= 
Из рисунка: = (м), = = = = = = .
Тогда, и
. После подстановки
= .
Тогда уравнение (1) примет вид
.
Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при , . Получим
.
Следовательно, искомая зависимость будет иметь вид:

ЗАДАНИЕ Д5–30
Дано: r =0, 6 R, , , , a=30о, b=60о.
Найти: – закон движения центра масс, – наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.
РЕШЕНИЕ:
Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил , , , (направление произвольно). Составим диф. уравнения плоскопараллельного движения:
; (1)
; (2)
; (3)
(положительное направление моментов в направлении вращения барабана при его движении от т.О).
1) Определение . В нашей задаче и . Учтем, что и при качении без скольжения в т. В находится мгновенный центр скоростей. Тогда
, или . (4)
Тогда из уравнения (3) , (5)
Сложив его почленно с (1) получим
= = .
Отсюда, т.к. , .
Интегрируем:
и .
По начальным условиям при и получаем . Окончательно закон движения центра масс принимает вид
.
2) Определение . При качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству
. (6)
Из уравнения (2), учитывая, что ,
= = 
Из уравнения (5), учитывая, что 
. Отсюда, т.к. 
Подставим значения и в неравенство (6) , откуда . Таким образом, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения
.
|