![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы конечных элементов, граничных элементов, их сравнительные преимущества и недостатки.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Метод конечных элементов несколько подобен методу конечных разностей. Однако он имеет вариационные особенности в алгоритме и содержит несколько гибких особенностей. В методе конечных элементов, вместо частных дифференциальных уравнений с граничными условиями, соответствующие функционалы составляют систему вариационных выражений, относящихся к каждой из малых областей или объемов, подразделяющих область, представляющую интерес. Обычно, эти малые сегменты - многоугольники типа треугольников и прямоугольников для двух размерных задач и тетраэдных элементов для трехмерных задач. Из-за такой дискретизации, не всякие ограничения могут быть наложены на форму структуры. Сущность этого метода иллюстрируется ниже для задачи уравнения Лапласа(1) в двумерной области на рис. 2. Решение (1), подчиненного граничному условию эквивалентно к минимизации функционала
Этот интеграл выполнен как сумма вкладов из всех малых многоугольных (треугольных в этом примере) областей. В каждом многоугольнике может быть аппроксимирована полиномом по x и y: Рис. 2. Типичное подразбиение поперечного сечения в двумерном анализе методом конечных элементов. Коэффициенты Значение I() для одного многоугольника
где индекс t указывает операцию транспонирования, а | S| - площадь многоугольника, равная Для минимизации
Подстановка (5) в (6) приводит к результату Когда этот процесс применяется ко всем многоугольникам в S, получаем
Так как некоторые из Некоторая предосторожность должна быть осуществлена, когда метод конечных элементов применяется к задаче с открытой областью типа диэлектрического волновода. Во многих случаях, область, к которой метод применяется, усекается в конечном объеме. В некоторых ситуациях, например, вблизи граничной частоты волновода, такое усечение не очевидно, потому что область разделяется очень медленно В свое время был предложен метод граничных элементов [10, 11]. Это - комбинация метода интегрального уравнения на границе, и техники дискретизации, подобной алгоритму конечных элементов, применяемому к границе. По существу, волновое уравнение для объема преобразовано к интегральному уравнению посредством тождества Грина. Поверхностные интегралы - дискретизированы на N сегментах, и их расчет в каждом сегменте выполняется после того, как величины поля аппроксимированы многочленами. Одно из преимуществ этого метода состоит в уменьшении требуемой памяти и времени расчета, следующее из уменьшения размерности.
|