Вместо введения, или с чего все начиналось

A все начиналось с релейно-контактных систем логического управления (СЛУ) технологическими процессами и оборудованием как в производственной сфере, так и в быту.

Такие СЛУ, выполненные на релейно-контактных элементах или на потеснивших их микросхемах, имели фиксированную логику работы, и в случае необходимости изменения алгоритма управления требовалась существенная переделка всей монтажной схемы.

Бурное развитие электроники, особенно в сфере микропроцессорной техники, привело к созданию программируемых логических контроллеров (ПЛК), которые кардинально изменили сам подход к созданию конечных автоматов, вытеснив полностью контактные СЛУ. Это не означает, что электромагнитные элементы изжили себя. Всему своё место. И обычные реле широко применяются в тех же ПЛК в качестве выходных элементов, выполняя по существу функцию усилителя или устройства для гальванической развязки микропроцессорной части ПЛК от исполнительных механизмов.

1.ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ БУЛЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ

ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ

Системы логическогого управления (СЛУ) бывают комбинационными и последовательностными. Последние называются также событийно-управляемыми автоматами.

В комбинационных СЛУ (их же называют однотактными) выходные сигналы формируются только при определённых комбинациях входных логических сигналов, принимающих значения 0 или 1. В последовательностных СЛУ (их же называют многотактными) выходные сигналы зависят не только от комбинации входных, но и последовательности их поступления во времени, что обеспечивается наличием элементов памяти.

Словесное изложение работы даже пpocтых СЛУ выглядит громоздко и затрудняет проведение анализа. Математическим аппаратом для описания СЛУ служит двузначная (бинарная) алгебра Буля, все переменные в которой могут принимать только два значения: 0 или 1.

Основным понятием, используемым при анализе и синтезе систем логического управления, является логическая функция.

Логическая функция выражает зависимость выходных переменных от входных и также принимает, в зависимости от значения последних и связывающих их логических действий, два состояния: 0 или 1. Можно встретить и такую запись этих состояний: Ложь или Истина; FALSE или TRUE.

Так как каждая переменная может иметь только два значения, то возможное количество различных комбинаций (наборов) N для n переменных будет равно N=2ⁿ.

1.1. Логическое умножение

Логическое умножение (конъюнкция, функция «И») равнозначно последовательному соединению контактов. Все возможные комбинации входных сигналов и соответствующие им значения функции сведены в таблицу состояний. Очевидно, что только в одном случае результатом логического умножения станет единица, т. е. лампа Л «сработает», если замкнуть контакты и а, и b. Из этой словесной формулы союз «И» перешел в обозначение функции (как синоним логическому умножению) и в название бесконтактного элемента.

Применяются и другие обозначения операции логического умножения:

1.2. Логическое сложение

Результат логического сложения (дизъюнкции, операции «ИЛИ») К = а + b, легко установить из анализа схемы с параллельным соединением контактов.

Очевидно, что катушка реле К получит питание, если замкнуть контакты или а или b, или оба вместе. Вместо знака «+» иногда употребляют «v»: а + b = av b.

1.3. Логическое отрицание

Логическое отрицание (инверсия, операция «НЕ») Л = , означающее, что значение логической функции Л противоположно или неравносильно значению переменной а. В нашем примере лампа горит (Л = 1), если контакт а не замкнут (а = 0), и лампа гаснет (Л = 0), если контакт не разомкнут (а = 1).

1.4. Инверсия конъюнкции

Функция «И – НЕ»

1.5. Инверсия дизъюнкции

Функция «ИЛИ - НЕ»

Указанные логические операции справедливы и для большего числа переменных. Возрастет при этом лишь количество возможных комбинаций, т. е. число строк в таблице состояний.

Знак «=», который в обычной алгебре является знаком равенства, в данном применении выражает равносильность связываемых логических операций, так как сами функции лишены количественной меры и могут принимать лишь два качественных состояния: 0 или 1.

1.6. Аксиомы и законы булевой алгебры

l.6.1. При записи и чтении сложных логических функций предполагается, что знак инверсии связывает сильнее, чем; другие знаки, а знак умножения связывает сильнее знака логического сложения. Этотпринцип позволяет сокращать количество различных скобок. Например, логическую функцию

следует записать в более простой форме

Как и в обычной алгебре здесь действуют следующие законы:

переместительный (коммутативный):

а) относительно логического умножения:

б) относительно логического сложения:

сочетательный (ассоциативный):

а) относительно логического умножения:

б)относительно логического сложения:

распределительный (дистрибутивный):

а) относительно логического умножения:

б) относительно логического сложения:

Следует обратить внимание на отсутствие формальной аналогии между распределительным законом относительно логического сложения для бинарной алгебры и таким же законом для обычной алгебры. Действительно, умножим

Так как сс = с, то

Так как то

что и требовалось доказать.

1 .6.2. Аксиомы

1 .6.3. Законы булевой алгебры

Законы нулевого множества:

Законы универсального множества:

Законы повторения:

Законы дополнительности:

Законы инверсии:

Законы поглощения:

Закон двойного отрицания:

Законы склеивания:

1. 7. Применение законов и аксиом при анализе и синтезе СЛУ

Следует напомнить, что контакты, обозначенные одинаковыми буквами, принадлежат одному реле, то есть они в идеализированном виде срабатывают одновременно. Поэтому не вызывает сомнения запись, например, закона дополнительности:

Действительно, последовательно соединенные замыкающий (а) и размыкающий (а) контакты одного и того же реле (А) всегда будут создавать разрыв цепи (0).

Параллельная цепь этих же контактов равносильна постоянной перемычке (шунту) с проводимостью 1.

Таблица 1.1

Таблица состояний

Столбцы третий, пятый и шестой - вспомогательные, содержащие результаты промежуточных вычислений. Как видно из таблицы, значения аb и а + b полностью совпадали для каждой комбинации переменных а и b.

Законы инверсии справедливы для любого числа переменных" причем представленных как в нормальной, так и инверсной форме:

Как и в обычной алгебре здесь применяются различные приемы для доказательства равносильных логических функций. Например, докажем один из законов поглощения:

Учитывая, что «усложним» левую часть уравнения:

Далее, учитывая, что ab + ab = ab, ещё более усложним это выражение:

и как в обычной алгебре сделаем очевидные преобразования, вынеся общие сомножители в первом и третьем, а также во втором и четвертом слагаемых:

Так как это выражение принимает вид

что и требовалось доказать.