Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ СИСТЕМ И ЕГО МОДИФИКАЦИИ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Распространить метод Ньютона на системы нелинейных алгебраических уравнений; обсудить основные модификации метода: метод Ньютона с кусочно-постоянной матрицей, метод Ньютона–Рафсона, методы продолжения по параметру, метод Ньютона для плохо обусловленных систем, дискретный метод Ньютона.

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Пусть задана система нелинейных уравнений

решение которой достигается в точке пространства . Обозначим ; . Тогда исходная система запишется в виде

.

Предположим, что известно k -е приближение к . Построим правило Ньютона вычисления (k+ 1 ) -го приближения в форме

.

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и сохраним в разложении два члена:

.

Полагая, что решение системы достигается на текущей итерации, относительно поправки получим систему линейных алгебраических уравнений:

.

Тогда

,

и итерационное правило Ньютона решения системы нелинейных алгебраических уравнений запишется как

Такой вид метода Ньютона неудобен на практике, потому что требует вычисления обратной матрицы, а эта операция достаточно трудоемка. На практике метод Ньютона реализуется в следующем виде:

1. Решается система линейных алгебраических уравнений и вычисляется вектор поправки:

,

где – матрица Якоби системы;

2. Вычисляется (k+ 1 ) -е приближение

,

3. Пункты 1, 2 повторяются для k= 0, 1, 2, … до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Критерием завершения итерационного процесса служат условия

, ,

или в более общей форме

, .