Сплайн-интерполяция.

Назовем m-сплайнами полиномы невысокого порядка m, которыми аппроксимируется функция на интервалах и которые сшиваются в узлах интерполяции на основе требования непрерывности интерполирующей функции и ее первых производных.

Рассмотрим наиболее широко используемую на практике кубическую сплайн-интерполяцию. В ней искомая функция на интервале аппроксимируется полиномом третьей степени

(11.1)

Аналогичные полиномы можно записать для всех n интервалов, т. е. соотношение (11.1) справедливо для .

Условия сшивки сплайнов в узлах интерполяции:

, (11.2)

, (11.3)

. (11.4)

Кроме того, необходимо задать граничные условия в точках и . Это можно сделать несколькими способами. Здесь будем считать, что

,

т. е. будем рассматривать интерполяцию так называемыми естественными сплайнами.

Условие (11.2) приводит к уравнениям:

(11.5)

Получили уравнений относительно неизвестных , .

Вычислим производные:

Построим уравнения, к которым приводит условие непрерывности первой производной в узлах . При кубической сплайн-интерполяции выражения для первой производной на соседних интервалах интерполирования имеют вид

Требование непрерывности первой производной в узлах (условие 11.3) приводит к уравнениям

. (11.6)

В свою очередь, непрерывность второй производной в этих же узлах (условие (11.4)) позволяет записать

,

или

. (11.7)

Наконец, из граничных условий , получим, что

. (11.8)

Соотношения (11.5), (11.6), (11.7), (11.8) составляют систему линейных алгебраических уравнений, всего уравнений, относительно неизвестных.

Построим эффективный метод решения этой системы. Выразим из (11.7) :

, (11.9)

и подставим в (11.5):

.

Учтем, что :

.

Выразим из этого соотношения :

. (11.10)

Подставим теперь в формулу (11.6):

Выполним очевидные преобразования и запишем результирующую систему в виде:

(11.11)

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Однако, если учесть, что из граничных условий

,

то приходим к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной симметрической матрицей

Обратите внимание: матрица системы обладает диагональным преобладанием! Эту систему можно эффективно решать методом -факторизации.

Вычислив коэффициенты , из соотношений (11.9) находим

.

Из условия (11.8) определяем :

Коэффициенты рассчитаем из (11.10):

так как . Коэффициенты , известны из (11.5). В результате для всех кубических сплайнов определены коэффициенты .

Расчет значений функции методом сплайн-интерполяции осуществляется следующим образом:

1. По описанной выше методике вычисляются коэффициенты кубических сплайнов;

2. Находится интервал , которому принадлежит данное . Значение функции на этом интервале вычисляется из кубического сплайна

с параметрами для интервала .