Явные многошаговые методы Адамса.

Многошаговые методы

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: На основе общей разностной схемы линейных многошаговых методов и условий корректного выбора коэффициентов построить явные многошаговые методы Адамса, неявные многошаговые методы Адамса, неявные многошаговые методы Гира различных порядков точности.

Явные многошаговые методы Адамса.

Этот класс методов легко получить из общей разностной схемы линейных многошаговых методов

и условий корректного выбора коэффициентов

Полагая , , получим разностную схему явного многошагового метода порядка

,

где коэффициенты , их всего , однозначно определяются из условия корректности.

Из первого условия корректности находим

.

Обозначим . Эта запись подчеркивает, что значение коэффи-циента зависит от порядка метода. Чтобы определить , подставим значения в оставшиеся условий корректности:

Получили систему из линейных алгебраических уравнений относи-тельно :

Запишем явные методы Адамса различных порядков.

1. . Коэффициент и

.

Разностная схема явного метода Адамса первого порядка совпадает с разностной схемой явного метода Эйлера.

2. . Соотношения для являются системой из двух линейных алгебраических уравнений

Следовательно , и разностная схема явного метода Адамса второго порядка принимает вид

.

3. . Относительно , запишем систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

,

из которой следует, что . В результате разностная схема явного метода Адамса третьего порядка записывается следующим образом:

.

Этот процесс записи разностных схем явных многошаговых методов более высоких порядков точности можно продолжить и далее.

Не останавливаясь на выводе, приведем выражение для локальной погрешности явных многошаговых методов Адамса порядка :

,

где – постоянный коэффициент, величина которого зависит от метода, в частности – значение -й производной функции в точке .