Оценки моделей спроса.

Для оценки влияния на спрос какого-либо фактора пользуются коэффициентом эластичности.

Прямой коэффициент эластичности показывает на сколько % изменяется спрос при изменении значения влияющего на него фактора (например, цены) на 1%:

,

где: – производная модели спроса ,

Для линейной формы зависимости спроса коэффициент спроса парной корреляции:

,

где: , – среднее значение факторного признака,

, – среднее значение результативного признака,

, – среднеквадратичное отклонение факторного

признака,

, – среднее значение произведения признаков,

, – среднее квадратичное отклонение,

n – количество экспериментальных измерений факторного признака.

После определения значения коэффициента записывают ЭММ, по которой проводят вычисления.

По результатам вычислений строят график и сравнивают его с диаграммой рассеивания.

Построенную модель спроса оценивают на соответствие изучаемому процессу. Значимость модели определяется ее возможностью прогнозировать средние значения спроса по заданным значениям независимых переменных.

Э₁ – можно определить по фактическим данным по формуле:

,

где: y_i, ∆ y_i – спрос и изменение спроса,

x_i, ∆ x_i – фактор и изменение фактора.

Э₂ – перекрестный коэффициент эластичности применяется для оценки изменения спроса на изучаемый товар в зависимости от изменения например, цены на другой товар на 1%:

,

где: y_i, ∆ y_i – спрос и изменение спроса на I-й товар,

p₂, ∆ p₂ – цена другого товара и изменение его цены.

Для построений модели спроса Э₂ можно определить по формуле:

Качественную оценку тесноты корреляции связи между признаками проводят по таблице Чеддока (табл. 1.2.):

Таблица 1.2.

Если r = 0, то связь между признаками отсутствует.

Если r = 1, то связь между признаками является функциональной.

r изменяется –1, 0 ≤ r ≤ 1, 0

Для определения меры тесноты корреляционной связи между изучаемыми признаками, а также показателя степени близости математической формы и фактических данных применяют корреляционное отношение:

,

где: – значение признака, вычисленное по модели,

– экспериментальное значение результативного признака 0 ≤ η ≤ 1, 0,

– среднее значение признака.

Для этих же целей применяют также индекс корреляции:

,

В качестве меры точности используют сред.относительную аппроксимации:

Если < 10 – 20%, то модель называется достаточно адекватной реальному процессу формирования спроса.

Определяем ошибку коэффициента корреляции по величине среднего квадратичного отклонения:

,

Затем величина r сопоставляется с через отношение:

,

Считая, что t_r > 2, то с вероятностью 0, 95 можно говорить о значимости полученного коэффициента корреляции.

Для оценки надежности уравнения регрессии и значимости индекса корреляции применяют F- критерий Фишера:

,

– дисперсия фактических значений спроса:

,

– остаточная дисперсия:

,

р – число коэффициентов в модели.

Показатели f₁ = n-p-1 и f₂ = n-1 называются числами степеней свободы.

Полученное расчетное значение критерия F_p сравнивается с табличным F_T, которое определяется по значениям f₁ и f₂ из таблицы 1.3. для заданного уровня зависимости а = 0, 05.

Таблица 1.3.

f2 f1
	18, 51		19, 16	19, 25	19, 3	19, 33	19, 4	19, 4
	10, 13	9, 55	9, 28	9, 12	9, 01	8, 94	8, 79	8, 84
	7, 71	6, 94	6, 59	6, 36	6, 26	6, 16	5, 96	6, 04
	6, 61	5, 79	5, 41	5, 19	5, 05	4, 95	4, 74	4, 82
	5, 99	5, 14	4, 76	4, 53	4, 39	4, 28	4, 06	4, 15
	5, 32	4, 46	4, 07	3, 84	3, 69	3, 58	3, 35	3, 44
	4, 96	4, 10	3, 71	3, 48	3, 33	3, 22	2, 98	3, 07

Если F_p ≥ F_T, то уравнение и индекс корреляции надежны.

Пример 1.1.

Построить экономико-математическую модель связи среднедушевого спроса населения на мебель S и товарооборота на душу населения X по следующим данным (табл. 1.4.):

Таблица 1.4.

Рассчитать прогноз продажи мебели на 2005г.

Решение задачи начинаем с построения диаграммы рассеивания в корреляционном поле XOS.

Рис. 1.1.

Затем сравнением внешнего вида диаграммы с имеющимися графическими моделями математических форм связи определяем, что более всего подходит линейная запись вида:

S = a₀ + a₁x

Для линейной формы связи существует следующая система нормальных уравнений:

Для удобства проведения расчетов расположим результаты промежуточных вычислений с учетом последующего анализа в таблицу

Таблица 1.5.

Дано	Вычисления
№	Si	xi		xiS				Э1
					29, 57		0, 57	-0, 08
					32, 21		2, 21	-0, 42
					35, 39		-0, 61	0, 24
					41, 57		2, 57	0, 06
					39, 77		-0, 23	-0, 19
					41, 69		-0, 31	-0, 09
					44, 03		0, 03	0, 006
					43, 67		0, 67	0, 13
					37, 07		-4, 93	3, 91
∑					344, 97		-0, 03	4, 457

На основе проведенных вычислений систему нормальных уравнений запишем таким образом:

Подставим a₁ в первое уравнение:

-8, 78 a₁ = -0, 53 a₀ = 38, 33 – 0, 06 * 736

a₁ = 0, 06 a₀ = -5, 83

Проверка:

Погрешность составляет < 1%

Вычислим значения результативного признака для каждого факторного признака x и занесем их в таблицу 1.5.

и т.д.

Проведем оценку экономико-математической модели.

Оценку корреляционной связи между признаками проведем с помощью линейного коэффициента корреляции:

В соответствии со шкалой Чеддока значение коэффициента корреляции указывает на весьма высокую связь между среднедушевым спросом населения на мебель и товарооборотом на душу населения.

Определим коэффициент эластичности Э₁:

, ,

и т.д.

Результаты вычислений заносим в таблицу 1.5.

Построить экономико-математическую модель связи среднедушевого спроса населения на мебель исходя из ежегодных данных (табл. 1.6.)

Таблица 1.6.

Рассчитать прогноз продажи мебели на 2005 г.

Строим диаграмму рассеивания в корреляционном поле tOS

Обозначим t = T – 1994

Рис. 1.2.

Пусть кривая – парабола 2-й степени:

Для линейной формы связи существует следующая система уравнений:

Для удобства проведения расчетов расположим результаты промежуточных вычислений с учетом последующего анализа в таблицу 1.7.:

Таблица 1.7.

Дано	Вычисления
t	Si
							23, 63	28, 84	216, 09	87, 05
							30, 57	0, 32	60, 22	69, 39
							36, 11	0, 01	4, 93	5, 43
							40, 25	1, 56	3, 69	0, 45
							42, 99	8, 94	21, 72	2, 79
							44, 33	5, 43	36, 0	13, 47
							44, 27	0, 07	35, 28	32, 15
							42, 81	0, 04	20, 07	21, 81
							39, 95	4, 20	2, 62	13, 47
∑								49, 41	400, 62	246, 01

На основе приведенных вычислений систему запишем в виде:

Проверка:

Так как погрешность составляет < 1%, то используем полученные параметры для дальнейшего решения.

Запишем экономико-математическую модель спроса населения на мебель:

Пользуясь полученной моделью определяем значение спроса населения для всего временного интервала и занесем их в таблицу.

Прогноз продажи мебели на 2005 г. составляет:

S₂₀₀₅ = 15, 29+9, 04· 11-0, 7· 11²=30, 03 млн.руб.

t = 2005-1994=11

Оценку степени близости полученной экономико-математической модели к фактическим данным проведем по корреляционному отношению:

Оценку достоверности прогноза спроса населения на мебель проведем по индексу корреляции:

Теперь проверим модель на адекватность, для чего сначала вычислим остаточную дисперсию:

потом найдем общую дисперсию:

затем оценим значимость индекса корреляции по F- критерию Фишера:

Поскольку значения степеней свободы составили f = 5 и f = 8, по которым табличное значение критерия (таблица 1.3.) F_T = 4, 82 и, следовательно, F_P > F_T, то построенная модель может быть признана надежной с вероятностью 0, 95.

Глава II. Модели сетевого планирования в торговле.

Сетевые методы и модели широко применяются для решения задач коммерции. На их основе создаются системы сетевого планирования и управления (СПУ).

Методы и модели СПУ применяются в коммерции для решения задач по заготовке, переработке и хранению плодово-овощной продукции; переводе магазина на самообслуживание; строительстве торговой базы; подготовке и проведению ярмарок, выставок-продаж товаров народного потребления; поставке товаров покупателям и др.

Сетевой моделью называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ и событий в графической форме. Графическая часть состоит из линий (работ) и узлов (событий), т.е. математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов [ ]. Графом G = (X, U) называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами и множества линий, называемых ребрами (дугами). Если рассматриваемые вершины являются упорядоченными (между парами вершин указывается направление), то такой граф называют ориентированным (орграфом), а соседние линии называются дугами. В противном случае граф называют неориентированным (неографом), а линии в нем – ребрами.

Путем в теории графов, называется последовательность взаимосвязанных и неповторяющихся дуг, ведущая от одной вершины к другой.

Контуром называется такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Орграф называется связанным, если для его любых двух вершин существует путь, их соединяющий.

Сетью называется ориентированный конечный связанный граф без контуров, имеющий начальную вершину (источник) и конечную (сток). Основными понятиями сетевой модели являются работа, событие и путь (рис.4.1.). Работой в СМ называется активный процесс требующий затрат ресурсов и времени или пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата (2, 3), (2, 4) (рис.2.1.).

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ.

событие (3)

работа (2, 3) фиктивная работа (3, 4)

критическая работа

событие (2) событие (4)

Рис. 2.1.

Путь – это непрерывная последовательность (цепь) работ и событий (рис. 2.2.), соединяющих начальную и конечную вершины графа. Путь имеющий максимальную длину называют критическим, его обозначают L_КР, а его продолжительность равна сумме составляющих его работ – t_кр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Критические работы на сетевом графе представляют двумя линиями (рис. 2.1.). В цепи сетевого моделирования различают предшествующие (опорные) и последующие работы и события.

2.1. Правила построения сетевых моделей.

Сетевые модели строятся в такой последовательности [ ]:

1. Строят трафарет событий, на котором указывают исходное событие.

2. На трафарет наносят последовательно все работы и события.

3. Всем стрелкам сетевого графика задают общее направление слева направо.

4. Между одной парой событий изображают только одну работу.

5. Из сети исключают тупиковые события, замкнутые контуры (циклы).

2.2. Показатели сетевых моделей.

В сетевых моделях кроме основных показателей (критический путь, резервы времени событий, работ и путей) имеются и другие, которые являются исходными для определения не менее важных характеристик для анализа и оптимизации сетевого графика комплекса работ.

К ним относятся:

Ранний срок совершения к – го события t_Р(к), определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события:

(2.1.)

т.е. раннее событие k равно раннему событию i, сложенному с длительностью работы (i, k).

Когда для события k имеется несколько ранних возможных, то берется наибольшее.

Поздним совершения события называется максимально допустимый срок (самый поздний) наступления этого события, т.е. не требующий увеличения времени на выполнение всего проекта (выполнение всех последующих работ в установленный срок).

(2.2.)

т.е. позднее допустимое равняется разности позднего окончания события k и продолжительности последующих работ.

Если для события i будет несколько поздних допустимых, то берется наименьшее.

Резерв времени k – го события R_k показывает на какой промежуток времени может быть отсрочено наступление события k без наступления сроков завершения всего комплекса работ.

Для всех работ (i, k) на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно представить в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Полный резерв времени пути R_L показывает, на сколько может быть увеличена сумма продолжительности всех работ на пути L относительно критического пути L_кр.

R_L = Т_кр-Т_i, (2.3)

Коэффициент напряженности работы K_н(i, k) характеризует напряженность по срокам выполнения работы (i, k) и определяется по формуле:

, (2.4)

где: t_кр – критическая работа;

t_(Lmax) – продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i, k);

r_n(i, k) – полный резерв времени работы (i, k);

– продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем. 0 ≤ K_н(i, k) ≤ 1

Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1.

2.3. Алгоритм решения задачи минимизации времени выполнения комплекса работ.

Рассмотрим метод решения задачи минимизации времени на примере 2.1.

Пример 2.1.

Дана упорядоченная структурно-временная таблица 2.2. перечня работ по организации выставки-продажи товаров. Требуется построить сетевой график, определить критический путь, критические работы, резервы времени, провести графический анализ комплекса работ и оптимизацию сетевой модели по критерию минимума времени Т при заданных ресурсах В. Определить экономию. Построить оптимальный сетевой план работ.

Таблица 2.2.

	Содержание работ	Обозначение ai	Опорные работы aj	Коэффициент пересчета	Длительность работ ti
	Заказ на оборудование и товары	a1	–	C1=0, 1	t1=8
	Разработка системы учета спроса	a2	–	C2=0, 2	t2=15
	Отбор товаров и выписка счетов	a3	a1	C3=0, 3	t3=6
	Завоз товара	a4	a3	C4=0, 4	t4=3
	Завоз оборудования	a5	a1	C5=0, 5	t5=4
	Установка оборудования	a6	a5	C6=0, 6	t6=5
	Выкладка товара	a7	a4	C7=0, 7	t7=5
	Учет наличия товара	a8	a4	C8=0, 8	t8=5
	Оформление витрины	a9	a6, a7	C9=0, 9	t9=3
	Изучение документов учета	a10	a2, a8	C10=1, 0	t10=3
	Репетиция выставки-продажи	a11	a9, a10	C11=1, 1	t11=2
	Проведение выставки	a12	a11	C12=0, 2	t12=1
	Анализ результатов	a13	a12	C13=0, 3	t13=1

2.4. Анализ сетевой модели.

Чтобы провести анализ сетевой модели, а затем ее оптимизацию, необходимо определить основные характеристики СМ. Эти характеристики определим двумя способами аналитически с помощью формул и результаты вычислений заносим в таблицу 2.2. и графически – построением сетевого моделирования.

2.4.1. Табличный способ моделирования.

Графы (колонки) 1, 2 и 3 таблицы 2.3 заполняем на основании исходных данных таблицы 2.2. В графе 4 заполняем раннего срока начала работ, определяемые с графика, путем выбора максимального из сроков раннего окончания предшествующих работ. Количество сравниваемых сроков равно количеству предшествующих работ графы 2. Заполнение графы 5 производится суммированием значений граф 3 и 4, т.е. раннее окончание каждой работы определяется сложением величин раннего начала и продолжительности работы.

После заполнения граф 4 и 5 определяется критический путь, равный максимально раннему сроку окончания работ, т.е. Т_кр=29 часам.

Значение критического пути заносится в последнюю сроку графы 7 и заполнение ее ведется снизу вверх. Время каждой работы определяется как разности между поздним окончанием работ и их продолжительностью. Наименьшее значение записывается в графу 7.

Значения графы 6 получаются вычислением данных графы 7 и значений колонки 3.

Значения графы 8 – полный резерв времени равный разности величин колонок 6 и 4 или 7 и 5. Если r_n(i, k) равен нулю, то работа является критической.

В графу 10 резерв времени событий записывается величина, равная разности между поздним событием окончания работы, заканчивающимся событием k графы 7, и ранним началом работы, начинающимся событием k, т.е. значения 10_графа = 7_графа – 3_графа (но не по строкам).

Значения свободного резерва времени работы r_св(i, k) вычисляются как разность значений граф 10 и 8. Величины графы 9 указывают на резервы работ, необходимые для оптимизации модели.

Таблица 2.3.

В графе 11 записаны значения коэффициента напряженности, вычисленные по формуле (2.4).

2.4.2. Графический способ решения задачи сетевого моделирования.

Решим задачу графическим способом, построив сетевую модель по данным таблицы 2.2. и выполнив ее оптимизацию.

Решение.

1. Построим сетевую модель по данным структурно-временной таблицы 2.2, указывая события: начальное – 1 и конечное – 11, работы a₁÷ a₁₃ и соответствующие им длительности.

2. Укажем пути на сетевом графике (последовательность работ, соединяющая начальное и конечное событие) рассматриваемой модели (4 пути):

1 путь: а₁, а₅, а₆, а₉, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 7 работ;

2 путь: а₁, а₃, а₄, а₇, а₉, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 8 работ;

3 путь: а₁, а₃, а₄, а₈, а₁₀, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 8 работ;

4 путь: а₂, а₁₀, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 5 работ.

3. Определим длительность пути во времени, подставляя соответствующие значения работ:

Т₁=8+4+5+3+2+1+1=24 час.

Т₂=8+6+3+5+3+2+1+1=29 час.

Т₃=8+6+3+5+3+2+1+1=29 час.

Т₄=15+3+2+1+1=22 час.

Длительность максимального пути Т₂=29, Т₃=29. За это время все работы по организации выставки-продажи могут быть выполнены. Т.е. пути Т₂ и Т₃ являются критическими. Длительность минимального пути Т₄=22 часа. За это время организовать выставку-продажу не получится.

4. Определяем полные резервы времени по всем путям:

Т_кр – Т₁=29 – 24 = 5 час. Т_кр – Т₂=29 – 29 = 0 час.

Т_кр – Т₃=29 – 29 = 0 час. Т_кр – Т₄=29 – 22 = 7 час.

5. Строим сетевой график в масштабе времени 1см – 2 часа рис. 2.3., построение начинается с критического пути Т₂ = Т₃=29 час. Затем строим остальные пути. Критические работы указаны двойными линиями (дугами). События отмечены цифрами в кружочках и соответствуют вершинам графа, а работы указаны отрезками со стрелками, проекции которых на ось ot равны длительности соответствующих работ.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Из рис. 2.3. видно, что простой ресурсов на первом пути происходит на работе а₆, а время простоя t₆=5час. Простой ресурсов на 4 пути происходит на работе а₂, время простоя – 7 часов. После определения работ, на которых происходит простаивание ресурсов, перенесем на часть ресурсов с этих работ на работы критических путей, т.е. с работы а₆ на работу а₄.

6. Проведем оптимизацию сетевой модели, используя следующие зависимости. Перенесем часть резервного времени х₆ с работы а₆ =5 на а₄=3, где х₆ – величина ресурса, забираемого с работы а₆.

Составим систему, чтобы определить х₄ и х₆, которая должна удовлетворять условию ограничения:

;

т.к. ,

х₄ – величина ресурса, добавленного к работе а₄=1, 19.

Для того, чтобы найти длительности путей используем формулы:

T_кр^’= T_кр-∆ t₄=29-1, 43=27, 57

T_кр^’= T₁-∆ t₆=24+3, 57=27, 57

Определим величины новых работ а₄ и а₆:

t₄^’=t₄-∆ t₄=3-1, 43=1, 57

t₆^’=t₆-∆ t₆=5+3, 57=8, 57.

7. Строим новый график на основе перераспределения резервов времени:

T_кр^’= T₁^’= T₃^’=27, 57 (рис. 2.4.).

8. Перенесем часть резервного ресурса х₂ с работы а₂ на работу а₁. Затем перераспределим резервы времени на 4 пути.

Составим систему:

т.к. ;

Проверим по условию ограничения ресурса:

,

Условие выполняется т.к. 1, 466 < 1, 86.

Найдем изменения времени и длительность работ.

∆ t₁=t₁∙ c₁∙ x₁=8∙ 0, 1∙ 1, 466=1, 172

∆ t₂=t₂∙ c₂∙ x₂=0, 2∙ 15∙ 1, 466=4, 398

t₁^’=a₁-∆ t₁=8-1, 472=6, 828

t₂^’=a₂+∆ t₂=19, 398.

Новая длительность путей:

T_кр^’’= T_кр^’-∆ t₁=27, 57-1, 172=26, 398

T^’= T₄-∆ t₂=22+4, 398=26, 398

Посчитаем экономию времени:

∆ T=T_кр – T_кр^’’=29-26, 398=2, 602 дня.

9. Строим окончательную сетевую модель (рис. 2.5.).

Контрольные вопросы:

1. Назовите основные показатели сетевых моделей.

2. Что называется сетевым графом?

3. Разновидности графов.

4. Виды определения резервов времени для оптимизации сетевого графа.

5. Способы оптимизации сетевых моделей.

6. Как определить экономию времени при выполнении работ?

.

Вопросы к зачету по дисциплине

«Экономико – математические методы»