Работа №2

Методом Ритца решить краевую задачу:

.

Задача имеет аналитическое решение:

.

Решение

Данная задача является частным случаем вариационной задачи

,

в которой

Решение задачи будем искать в виде

,

где

,

а в качестве координатных функций примем многочлены:

.

Вычислим производные:

Система уравнений метода Ритца будет иметь вид

,

где

,

.

Получим решение в виде ряда

.

Для

%МЕТОД РИТЦА

clear all

clc

% ВВОД ДАННЫХ

n = 3;

A = zeros(n);

B = zeros(n, 1);

f_i_k = inline('((i+1)*x.^i - i*x.^(i-1)).*((k+1)*x.^k - k*x.^(k-1))+(x.^(i+1) - x.^i).*(x.^(k+1) - x.^k)', 'x', 'k', 'i');

for k =1: n

for i = 1: n

A(k, i) = quad(f_i_k, 0, 1, 1.0e-10, 0, k, i);

end

end

f_k = inline('-x.*(x.^(k+1) - x.^k)', 'x', 'k');

for k = 1: n

B(k) = quad(f_k, 0, 1, 1.0e-10, 0, k);

end

C = A\B

xr =0: 0.01: 1;

ur = 0;

for i =1: n

ur = ur + C(i)*(xr.^(i+1) - xr.^i);

end

plot(xr, ur, 'r--', 'LineWidth', 3)

xlabel('x')

ylabel('{\itu(x)}')

title('М. Ритца u_{ritz} и точное решение u_T = e(e^{x}-e^{-x})/(e^2-1) - x', 'FontName', 'Courier')

grid on

X = 0: 0.01: 1;

Y1 = exp(1)*(exp(X)-exp(-X))/(exp(2)-1) - X;

%ДОБАВЛЯЕМ ГРАФИК ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ

hold on

plot(X, Y1, 'c-.', 'LineWidth', 2)

legend('u_{ritz}(x)', 'u_T(x)', 0)