![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Контрольная работа. Тема 16. Математика в целенаправленной деятельности
ПРОГРАММА
Тема 16. Математика в целенаправленной деятельности Процесс принятия решения, его участники и этапы. Понятие операции. Исследование операций - теория и методы количественного анализа решений, его взаимосвязь с теорией принятия решений. Математическая модель операции [контролируемые и неконтролируемые факторы, стратегии (планы), исходы, критерии эффективности (целевые функции)]. Однокритериальные и многокритериальные задачи оптимизации; задачи оптимизации в условиях определенности, неопределенности, конфликта. Тема 17. Линейное программирование Постановка и различные формы записи задачи линейного программирования. Типовые задачи линейного программирования. Графический метод решения. Понятие о симплекс-методе. Двойственные задачи. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач и теорем двойственности. Транспортная задача; математическая формулировка. Построение начального опорного плана. Метод потенциалов, их экономический смысл. Пакеты прикладных программ для решения задач линейного программирования. Тема 18. Нелинейное программирование Постановка задачи нелинейного программирования; примеры из экономики. Классификация задач и численных методов математического программирования. Понятие о методах одномерной, безусловной и условной оптимизации. Бюджетное ограничение. Оптимум потребителя. Определение оптимальных потребительских наборов методом Лагранжа. Тема 19. Антагонистические игры Игра как математическая модель принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Классификация игр. Матричные игры. Максиминные и минимаксные стратегии игроков; седловая точка. Смешанное расширение игры. Основная теорема матричных игр. Применение линейного программирования для решения игр в смешанных стратегиях. Тема 20. Моделирование отраслевой структуры народного хозяйства Основные допущения, принимаемые при построении линейных статических моделей. Статическая модель межотраслевого баланса. Технологическая матрица и матрица полных затрат. Список рекомендуемой литературы
Настоящие указания составлены в соответствии с учебниками [1], [2] и [3]: 1. Исследование операций в экономике: учебное пособие / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 2. Высшая математика для экономистов: учебное пособие / под ред. Н.Ш. Кремера. - М: ЮНИТИ, 2010. 3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2010
Задача 1 На изготовление двух видов продукции Р1 и Р2 требуется три вида сырья S1, S2 и S3, запасы которого ограничены и составляют соответственно b1, b3 и b2 условных единиц. Количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции дано в таблице 1. Таблица 1
Здесь аij - количество сырья вида Sj, необходимое для изготовления единицы продукции типа Pj (i=l, 2, 3; j-1, 2). В последней строке указана прибыль (в условных денежных единицах), получаемая от реализации единицы соответствующей продукции (предполагается, что вся выпущенная продукция реализуется). Требуется составить план выпуска продукции, при котором суммарная прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной. Рассмотрим конкретный пример (таблица 2).
Таблица 2
Решение Обозначим искомый план производства через (х1, х2), где х1 - количество продукции типа Р1; х2 - количество продукции типа Р2. Составим ограничения задачи. Ограничивающим фактором здесь является сырье. Например, на план производства (х1, х2) должно истратиться Зх1 + Зх2 сырья вида S1, запасы которого равны 15 ед., поэтому должно выполняться неравенство для сырья S2 и S3, соответственно, должны выполняться неравенства 2 х 1 + 6 х 2 ≤ 18 и 4 х 1 ≤ 16 По смыслу задачи в систему ограничений необходимо включить еще два неравенства
Объединим все неравенства в систему Эта система носит название системы ограничений задачи. В качестве целевой функции задачи выступает суммарная прибыль, которая, очевидно, имеет вид Итак, мы построили математическую модель задачи: Заметим, что это - задача линейного программирования с двумя переменными. Решим ее графическим методом. Рассмотрим систему неравенств; множество ее решений называется ОДР - областью допустимых решений или областью допустимых планов. Построим область решений первого неравенства системы ограничений 3 х 1 + 3 х 2 ≤ 15. Сначала построим прямую Зх1 + Зх2 =15, например, по точкам (0, 5), (5, 0), которую обозначим цифрой (I). Эта прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. Для определения полуплоскости решений нашего неравенства возьмем произвольную точку плоскости, не нежащую непрямой Зх1 +3х2 = 15, например, (0, 0), и подставим ее координаты в неравенство: 3 · 0 + 3 · 0 ≤ 15. Так как 0 < 15, то точка (0, 0) лежит в полуплоскости решений нашего неравенства. Полуплоскость, в которой лежит данная точка, мы заштрихуем (Рисунок 1). Аналогично строим полуплоскости решений остальных неравенств системы ограничений, каждый раз заштриховывая " ненужную" полуплоскость [прямые (II) и (Ш)]. Заметим, что неравенстве х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0 " выделяют" первый квадрант (заштриховываем левую полуплоскость от прямой x1=0 нижнюю от прямой х2 =0). Таким образом, ОДР - это замкнутый многоугольник OABCD (рисунок1).
Рисунок 1 Теперь нужно среди точек построенного многоугольника (включая и его границу!) найти такую, в которой целевая функция F(x1, х2) = 2х1 +3х2 достигает максимального значения. Для этого построим прямую, заданную уравнением 2х1 + 3х2 = 0, которая является линией нулевого уровня функции F{x1, x2,). Как известно, линии уровней линейной функции образуют на плоскости семейство параллельных прямых, на каждой из которых функция принимает постоянное значение. При переходе от одной линии уровня к другой значение функции изменяется. Направление " наискорейшего" возрастания функции F указывает вектор
(в нашем случае это вектор с началом в начале координат (0, 0) и концом в точке (2, 3), координаты которого в случае линейной функции F равны коэффициентам при соответствующих переменных). Для нахождения оптимального плана нужно " передвигать" линию нулевого уровня функции F параллельно самой себе в направлении вектора М до точки ее " последней встречи" с ОДР. Эта точка (или отрезок прямой) и будет решением поставленной задачи. В нашем случае это точка В - точка пересечения прямых (I) и (II). Найдем координата этой точки, решив систему уравнений:
→ В(3; 2)
Следовательно,
Ответ: для получения суммарной максимальной прибыли нужно выпускать 3 ед. продукции типа P1 и 2 ед. продукции типа P2. При таком плане прибыль составит 12 ден. ед. Замечание I: Если требуется найти минимум функции F, то линию нулевого уровня следует передвигать до точки " первой встречи" с ОДР или в направлении, противоположном вектору Как правило, задачи, в которых целевая функция представляет собой затраты производства, требуют минимизации этой функции. Замечание 2: Если нарисунке " не видно" оптимальной точки, то рекомендуется найти координаты всех вершин многоугольника и посчитать значение функции F в этих точках. Наибольшее (или наименьшее) значение функции F укажет оптимальную точку (или отрезок прямой). Вопросы для самопроверки: 1. Какая фигура является областью решений линейного неравенства? 2. Какая фигура является областью решений системы линейных неравенств? 3. Запишите стандартную форму задачи линейного программирования. 4. Дайте определения допустимого плана и оптимального плана задачи линейного программирования.
Задача 2 Ниже приведена таблица 3, в которой указаны запасы некоторого груза у поставщиков А1 , А2, А3, потребности в этом грузе потребителей В1 , В2,, B 3, а также стоимости (тарифы) с11 c12, …, c33 перевозки единицы этого груза от каждого поставщика каждому потребителю (тариф c ijозначает стоимость перевозки единицы груза от поставщика Ai потребителю Вj); величины cij указаны в некоторых денежных единицах. Составьте оптимальный план перевозок - такой, чтобы все потребители были удовлетворены и при этом стоимость всех перевозок была бы наименьшей. Таблица
Решение 1. Составление начального плана перевозок ([1], стр. 129-131). а) Метод " северо-западного угла". Заполним клетку а1] - " северо-западный угол" матрицы перевозок. В нее можно запланировать перевозку 60 единиц груза: потребность потребителя В] равна 60 единицам, а у поставщика А1 имеется возможность поставить B1 весь требуемый груз (60 единиц из имеющихся у него 70). При этом 1-й столбец матрицы перевозок будет закрыт, а в первую строку останется в дальнейшем разместить перевозку 10 единиц (рисунок 1).
Рисунок 1.
Заполняем " северо-западный угол", оставшейся незаполненной части таблицы - клетку a12. В нее можно запланировать перевозку 10 единиц груза, оставшихся у поставщика А], потребителю В2; при этом все возможности А1 будут исчерпаны, а В2 надо будет поставить еще 80 единиц груза. При этом 1-я строка матрицы перевозок будет закрыта (рисунок 2).
Рисунок 2.
Снова заполняем " северо-западный угол" незаполненной части таблицы - клетку a22. В нее можно запланировать перевозку 40 единиц груза, имеющихся у А2, потребителю В2; при этом все возможности А2, будут исчерпаны, а потребителю В2 надо будет поставить еще 40 единиц груза; 2-я строка матрицы будет закрыта (рисунок 3).
Рисунок 3.
В оставшейся незаполненной части последней строки матрицы перевозок заполняем сначала " северо-западный угол" - клетку а32 (в нее ставим, естественно, 40 единиц груза и закрываем 2-й столбец), а затем – оставшуюся клетку a 33 (снова " северо-западный угол" оставшейся незаполненной части таблицы); получаем план перевозок, изображенный на рисунке 4.
Рисунок 4.
Подсчитаем стоимость затрат на перевозки по этому плану. Для этого объем перевозки, указанный в каждой заполненной клетке, надо умножить на тариф этой клетки и сложить все полученные произведения: Метод " северо-западного угла" очень простой Он никак не учитывает стоимости перевозок. Точно так же можно применять метод " юго-восточного угла" или какого-нибудь другой, важно лишь четко сформулировать правило (алгоритм) составления плана.
б) Метод наименьшей стоимости. Находим клетку матрицы перевозок с наименьшим тарифом; таких клеток две: а22 и а13 - тарифы в них равны 1. Поскольку в клетку а22 можно поместить 40 единиц груза (это наименьшее из чисел 40 и 90, соответственно запасов А2 и потребностей В2), а в клетку а13 - тоже 40 единиц. Выбираем одну из них произвольно, например, клетку a13, и закрываем 3-й столбец, а у поставщика А1 оставляем 70 -40 = 30 единиц груза (рисунок 5).
Рисунок 5.
В оставшейся незаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф имеет клетка а22. Заполняем ее: ставим перевозку 40, закрываем вторую строку, а потребителю В2 останется еще получить 50 единиц груза (рисунок 6).
Рисунок 6.
В оставшейся незаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф (2 денежные единицы) имеют клетки a31, и а32 - В первую из них помещаем требуемые там 60 единиц груза (во вторую можно поместить лишь 50 единиц- меньше), закрываем первый столбец, уменьшая запасы А3 до 80 - 60 = 20 единиц груза (рисунок 7)
Рисунок 7.
Дальше матрица заполняется однозначно - в незаполненные клетки a12 и a32 ставим требуемые там 30 и 20 единиц груза соответственно. План составлен (рисунок 8). Подсчитаем стоимость затрат по составленному плану: 30 • 4 + 40 • 1 + 40 • 1 + 60 • 2 + 20 • 2 = 360 (ед.).
Рисунок 8.
Метод наименьшей стоимости дал более выгодный план, поэтому будем рассматривать именно его в качестве начального. Отметим два обстоятельства. В обоих планах оказались заполненными одинаковое число клеток. Это не случайно. Для невырожденных задач это число равно, как известно из теории, т+п-1 где т и п -размеры матрицы перевозок. В нашем случае т = n = 3, поэтому должны быть заполнены 3 + 3 — 1 = 5 клеток, что и получилось. " Невырожденость" здесь означала, что на каждом этапе решения мы " закрывали" либо столбец, либо строку матрицы перевозок, но никогда столбец и строку одновременно. Если бы случилась необходимость их одновременного закрытия, нам пришлось бы вводить фиктивную нулевую перевозку, чтобы соблюсти указанный принцип. Кроме того, мы решали так называемую " закрытую" транспортную задачу: сумма запасов поставщиков равнялась сумме потребностей потребителей; иначе нам тоже пришлось бы вводить либо " фиктивных поставщиков", либо " фиктивных потребителей". Осталось напомнить, что, очевидно, достаточно составить исходный план лишь одним способом; мы привели два способа из методических соображений. Теперь надо выяснить, оптимален ли план, приведенный на рис. 8. Для этого надо провести оценку каждой свободной клетки, составив для нее цикл, а по нему -знакочередующуюся сумму тарифов клеток, входящих в этот цикл: если эта оценка окажется для какой-то клетки неотрицательной, ее невыгодно включать в новый план, если же она окажется отрицательной, то рассматриваемый план не оптимален и эту клетку целесообразно включить в новый, более выгодный план. Как только в некотором плане все свободные клетки будут иметь» неотрицательные оценки, мы получим оптимальный план. Исследование исходного плана на оптимальность (распределительный метод) ([1], стр. 134- 139). Найдем последовательно оценки всех свободных клеток плана перевозок, изображенного на рисунке 8. Клетка a11. Цикл
Рисунок 9.
Клетка a21. Цикл
Рисунок 10. Рисунок 11. Рисунок 12.
Клетка a23. Цикл Клетка a33 Цикл а33 - а13 + а12. – а32 (рисунок 12). Его оценка α 33 = 4-1 + 4 – 2 = 5> 0
Итак, исследуемый план не оптимален, в новый план следует включить клетку а 11(это единственная свободная слетка с отрицательной оценкой). Комментарий. Полезно убедиться в единственности (с точностью до направления обхода) цикла для каждой свободной клетки и независимости значения ее оценки от направления обхода цикла. Иногда возникает недоразумение из-за недопонимания такого обстоятельства: мы считаем, что цикл проходит через клетку, если он делает в ней поворот (например, цикл клетки а11 не проходит через клетку а21, он " перепрыгивает" через нее); поэтому лучше употреблять такие слова: " клетка входит в цикл" или " принадлежит циклу". Улучшение плана происходит просто: берем свободную клетку с отрицательной оценкой и производим по ее циклу перемещение поставок так, чтобы не нарушить баланс: в свободную клетку и в те занятые клетки ее цикла, тарифы которых брались при оценке со знаком " +", добавляем некоторое (одно и то же для всех клеток цикла) количество единиц груза (то есть увеличиваем на это количество запланированные в этих клетках перевозки), а в остальных, клетках цикла на это же количество уменьшаем перевозки. Величина оценки свободной клетки имеет экономический смысл: когда она отрицательна, то показывает, насколько выгодней перевозить единицу груза, проделав перемещение поставок по циклу этой клетки, поэтому по циклу надо переместить как можно больше единиц груза. Эта величина ограничена тем, что в тех клеткам, в которых мы уменьшаем поставки, не должно остаться отрицательной величины. Значит, мы можем переместить по циклу лишь наименьшую величину единиц груза из тех клеток, тарифы которых входили в оценку со знаком " -". Произведение этой величины на оценку клетки и даст величину выгоды перевозок по новому плану - разности в стоимости старого и нового планов перевозок. В нашем случае переместим по циклу клетки a11 30 единиц груза: в клетки a11 и а32 плана добавляем по 30 единиц груза, и из клеток а12 и а3] убираем по 30 единиц. Получаем новый, улучшенный план, показанный на рисунке 13.
Рисунок 13. Рисунок 14. Рисунок 15.
Его стоимость на 30 денежных единиц меньше стоимости исходного: (-1)-ЗО=-ЗО; таким образом, по второму плану стоимость перевозок равна 360- 30 = 330 денежным единицам. Обязательна проверьте, что стоимость нового плана равна 330 единицам. Тетерь, видимо, становятся понятнее свойства цикла: в него входят ровно по две клетки из столбца или строки из-за того, чтобы при улучшении плана не нарушался баланс: на такую величину мы уменьшили перевозку из одной клетки строки (столбца), на столько же увеличили ее во второй клетке этой строки (столбца), так что общая величина поставок от этого поставщика (баланс в строке) или этому потребителю (баланс в столбце) не меняется. Исследование второго плана на оптимальность. Найдем последовательно оценки всех свободных клеток второго плана. Клетка a12. Ее только что освободили, так что оценивать ее нецелесообразно. Клетка а21. Ее цикл, а значит, и оценка, не изменились; оценка по-прежнему равна 3> 0.
Клетка a33. Цикл Поскольку во втором плане оценки всех свободных клеток положительны, он оптимален. Ответ: а11 =30, а1 3 =40, а22 =40, а31 =30, а32 = 50, а12 = а21 = а23 = а3 3 = 0; оптимальная стоимость перевозок равна 330 денежным единицам. Вопросы для самопроверки: 1. Запишите закрытую математическую модель транспортной задачи. 2. Чему равен ранг системы ограничений транспортной задачи? 3. Дайте определение цикла свободной клетки. 4. Сколько циклов существует у одной свободной клетки? 5. Что называется оценкой свободной клетки? 6. В каком случае план можно улучшить и как это сделать? 7. На сколько уменьшаются транспортные расходы после улучшения плана? 8. Как свести открытую модель транспортной задачи к закрытой модели?
Задача 3 Пусть потребительский набор представляет собой вектор x = (х1, х2), где х1 - количество первого товара; х2 -количество второго товара. Пусть цена первого товара – р1, второго – p2,, а доход (бюджет) потребителя т. Предпочтения потребителя представлены функцией полезности U = U(x1, х2). Найти оптимальный набор потребителя, то есть набор U(x1, x2) = p1 =9; p2 =8; m = 504. Решение Математическая модель задачи U(x1 , x1)=
9x1 +8x2 =504
Это задача нелинейного программирования (задача на условный экстремум). Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать функцию (1) и работать далее с функцией Итак, имеем следующую задачу
Для решения этой задачи обратимся к методу Лагранжа ([1], стр. 208-209). Построим функцию Лагранжа
Исследуем полученную функцию на безусловный экстремум. Для этого вычислим и приравняем нулю ее частные производные по x1, х2, λ:
Составляем систему Исключая откуда х1 = 24; х2 =36. Таким образом, по необходимому условию существования экстремума дифференцируемой функции получаем стационарную точку М (24; 36) возможного условного экстремума функции V(x1, х2). Теперь проверим выполнение достаточного условия существования условного экстремума в стационарной точке:
р1 обозначим Δ = - - определитель, р2
вычисленный при х1 = х10, х2 = х20. Если Δ < 0, то функция V (х1, х2) имеет в т (х10, х20) условный максимум, если Δ > 0 – условный минимум.
Тогда
Δ = - 9 -
функции V (х1, х2).
Ответ: оптимальный набор потребителя: х10 = 24 ед. первого товара, х20 = 36 ед. второго товара. Вопросы для самопроверки: 1. Что называется условным экстремумом функции? 2. Что такое функция Лагранжа? 3. Дайте формулировку необходимого и достаточного условия существования условного экстремума функции двух переменных. 4. Что называется функцией полезности потребителя? 5. Что такое бюджетное ограничение потребителя? 6. Сформулируйте задачу оптимизации потребительского выбора.
Задача 4 Решить игру, заданную следующей платежной матрицей Решение Нижняя цена игры а = 4, верхняя β = 5, то есть α ≠ β, следовательно, игра седловой точки не имеет ([1], 9.2) и ее решение будем искать в смешанных стратегиях ([1], 9.3). Обозначим через р = (р1, р2), q = (q], q2)- смешанные стратегии первого и второго игроков, соответственно ([1], 9.3). Как известно, для игры 2 х 2 с платежной матрицей для определения координат оптимальных смешанных стратегий Надо решить следующие системы уравнений
где ν - цена игры.
Для нашей матрицы А эти системы уравнений приобретают вид
и
Решая их, найдем: Из любого уравнения (кроме третьего) любой системы при уже известных Итак, первый игрок должен применять свои стратегии поровну (" пятьдесят на пятьдесят"), а второй в соотношении 1: 3; при этом цена игры составит v = 4, 5 (что больше нижней цены игры α = 4 и меньше верхней (β = 5). Заметим, что свои стратегии в данных соотношениях игроки должны применять «случайно». О т в е т:
Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение платежной матрицы игры. 2. Что такое нижняя, верхняя цены игры, седловая точка игры? 3. Дайте определение смешанных стратегий игроков.
Задача 5 Химическое предприятие состоит из трех основных цехов. В процессе производства каждый цех потребляет некоторое количество продукции других цехов (и, в частности, своего тоже). Натуральные потоки и валовой выпуск продукции каждого из цехов приведены в таблице 1.
Таблица 1. 1. Записать балансовые соотношения и определить объем конечной продукции Y0 по цехам. 2. Составить технологическую матрицу А; выяснить ее продуктивность. 3. Найти матрицу полных затрат S =(Е - А)-1 (правильность расчетов подтвердить проверкой равенств
Для нового вектора конечной продукции
найти вектор валовой продукции X (вычисления проводить с точностью до 0, 001). Решение Введем следующие обозначения: хi - валовой выпуск продукции i -го цеха за плановый период; xij - объем продукции i -го цеха, потребляемой j -м цехом в процессе производства; уi - объем конечного продукта i -го цеха.
1. Так как объем конечного продукта любого i -го цеха равен разности между валовым выпуском продукции этого цеха и суммарным объемом продукции, потребляемой всеми цехами, то балансовые соотношения для нашей задачи имеют вид ([2], стр. 57, формула (2.14)): 1000-(200+100+200)= y 1, 1000-(150+250+200)= у2, 2000-(500+100+400)= у3.
Следовательно,
2. Составим технологическую матрицу прямых затрат А Ее элементы аij показывают затраты продукции i -го цеха (отрасли) на производство единицы продукции j -го цеха (отрасли):
([2], стр. 57, формула (2.15)); предполагается, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij. постоянны и зависят только от сложившейся технологии производства, Для данных нашей задачи получаем:
Для выяснения вопроса о ее продуктивности воспользуемся следующим критерием ([2], стр. 59). Критерий продуктивности неотрицательной матрицы:
и существует номер j такой, что
Так как все элементы нашей матрицы A, положительны, то требование
Следовательно, матрица А продуктивная. Если технологическая матрица 3. Найдем матрицу полных затрат 5 = (Е- А)-1 =В-1. Для нахождения обратной матрицы необходимо убедиться, что определитель матрицы В отличен от 0, то есть, что она - неособенная. Так как в нашем случае то матрица В неособенная, и для нее в силу теоремы на странице 201 [1] существует обратная матрица
где В нашем случае где Вij - алгебраические дополнения элементов bij матрицы В ([1], стр. 26-29). Найдем все элементы присоединенной матрицы
Таким образом, присоединенная матрица имеет вид
Зная Проверим правильность вычислений, то есть что где Е-единичная матрица третьего порядка. По определению произведения матриц ([2], стр. 12-13) получим:
Проверка подтвердила правильность найденной нами матрица. Заметим, что элементы sij матрицы S определяют полные (прямые и косвенные) затраты продукции i -ой отрасли, необходимые j- й отрасли для производства единицы ее конечной продукции.
4. И, наконец, для нового вектора конечной продукции найдем вектор валовой продукции X. Проведем расчет по формуле ([2], стр. 58, формула (2.20)): Ответ: для выпуска конечной продукции цехами рассматриваемого предприятия в объемах у1 =200, у2 = 500, у3 = 400 валовой выпуск их продукции должен составлять х1 =473, 2; х2=882; х3 = 906, 5. Вопросы для самопроверки: 1. Сформулируйте правила вычисления определителей второго и третьего порядков. 2. Сформулируйте основные свойства определителей. 3. Дайте определения основных действий над матрицами. 4. Дайте определение единичной матрицы порядка n. 5. Какая матрица называется присоединенной к матрице А? 6. Дайте определение матрицы, обратной для данной квадратной матрицы. 7. Запишите формулу для нахождения обратной матрицы. 8. Что такое балансовые отношения? 9. В чем заключается экономический смысл элементов технологической матрицы А? 10. Сформулируйте критерий продуктивности матрицы А. 11. Дайте определение матрицы полных затрат S.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
|