![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методом линейного программирования
В основе оптимизации режимов резания методом линейного программирования лежит построение математической модели, которая включает совокупность технических ограничений, приведенных к линейному виду логарифмированием, и упрощенный вид целевой функции. Для решения этой задачи на ЭВМ могут быть использованы различные численные методы (метод перебора, симплекс–метод и др.), а также графический метод, наглядно представляющий математическую модель процесса резания. Следует отметить, что качество математической модели процесса резания металлов, и в первую очередь ее достоверность, зависит от выбора технических ограничений, которые в наибольшей степени определяют описываемый процесс. Наиболее важными ограничениями являются следующие: режущие возможности инструмента; мощность электродвигателя привода главного движения; заданная производительность станка; наименьшая и наибольшая скорости резания и подача, допускаемые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость обработанной поверхности. Рассмотрим особенности построения технических ограничений для наиболее распространенных методов обработки — продольного наружного точения и фрезерования торцовыми и цилиндрическими фрезами. Ограничение 1. Режущие возможности инструмента. Это ограничение устанавливает связь между скоростью резания, определяемой принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания, подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, с одной стороны, и скоростью резания, определяемой кинематикой станка, с другой. Скорость резания для различных видов обработки определяется по формуле:
где Сv — постоянный коэффициент, характеризующий нормативные условия обработки; D — диаметр обрабатываемой детали (или инструмента), мм; kv — поправочный коэффициент, учитывающий качество обрабатываемого материала, состояние поверхности заготовки, характеристику режущего инструмента; Т — принятая стойкость инструмента, мин; т — показатель относительной стойкости; t —глубина резания, мм; s — подача, мм/об, мм/мин; z — число зубьев режущего инструмента; Вф — ширина фрезерования, мм; Хv, Yv, Uv, Zv, rv — показатели степеней или переменных в формуле скорости резания. С другой стороны, скорость резания определяется кинематикой станка согласно зависимости: v = nD× n× 10 -3. Приравнивая правые части формул и сделав преобразования, получают выражение первого технического ограничения в виде неравенства:
Это техническое ограничение достаточно просто приводится к виду, описывающему конкретный вид обработки. Так, для продольного наружного точения можно получить, имея в виду значения коэффициентов Zv=0, Uv=0, rv=0, следующее неравенство:
Ограничение 2. Мощность электродвигателя главного движения станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь между эффективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощностью электропривода главного движения станка. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных видах обработки, определяется по формуле:
где Сz — постоянный коэффициент, характеризующий условия обработки; kz — общий поправочный коэффициент на мощность, учитывающий изменение условий обработки против нормативных; kcz, — поправочный коэффициент, учитывающий отдельный вид обработки; xz, zz, nz, уz, иz, rz — показатели степени при t, D, n, s, z и Bф. Учитывая необходимое условие протекания процесса резания, можно получить следующее неравенство:
где Nn — мощность электродвигателя главного привода станка, кВт; h — КПД механизма передачи от электродвигателя к инструменту. Приравнивая правые части выражений, получаем второе техническое ограничение в виде неравенства:
Ограничение 3. Заданная производительность станка. Этим ограничением устанавливается связь расчетных скорости резания и подачи с заданной производительностью станка. Исходя из соотношения продолжительности цикла работы станка Тц, основного технологического t0 и вспомогательного непрерывного tвн времени, можно получить выражение для третьего технического ограничения:
где R — заданная производительность станка, шт/мин; К3 — коэффициент загрузки станка; rR — число деталей, обрабатываемых одновременно на одной позиции; L — длина рабочего хода инструмента, мм. Ограничения 4 и 5. Наименьшая и наибольшая допустимые скорости резания. Эти ограничения устанавливают взаимосвязь расчетной скорости резания с кинематикой станка по минимуму и максимуму. Они записываются в следующем виде: Ограничения 6 и 7. Наименьшая и наибольшая допустимые подачи. Эти ограничения аналогично двум предыдущим устанавливают взаимосвязь расчетной подачи с подачей, допустимой кинематикой станка по минимуму: и максимуму:
Ограничение 8. Прочность режущего инструмента. Это ограничение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениями скорости резания и подачи и допустимыми по прочности режущего инструмента. В основу построения этого ограничения закладывают условия нагружения режущего инструмента, например резца, как консольной балки с приложением на ее конце усилия, равного окружной составляющей силы резания Рz. В этом случае предел прочности материала державки резца при изгибе определяется зависимостью:
где Мизг = Pzlвр — изгибающий момент в месте закрепления державки резца на расстоянии lвр – вылета резца от точки приложения окружной силы, кг/мм2; кзп — коэффициент запаса прочности; W — момент сопротивления сечения державки резца, мм2.
Выражая окружную силу резания в зависимости от элементов режимов резания, а также учитывая форму державки (для прямоугольного сечения шириной В и высотой Н момент сопротивления равен W=ВН2/Е) и значение предела прочности для незакаленной углеродистой конструктивной стали s = 20 — 24 кг/мм2, можно получить после некоторых преобразований следующее ограничение:
Ограничение 9. Жесткость режущего инструмента. Это ограничение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениямискорости резания и подачи и допустимыми по жесткости режущего инструмента. Известно, что максимальная нагрузка, допускаемая жесткостью резца Рж.доп, определяется по формуле
где f — допустимая стрела прогиба резца, мм; Е — модуль упругости материала резца (для конструктивной стали E=(2 — 2, 5)× 104 кг/мм2); I — момент инерции державки резца, мм4. Величина допустимого прогиба резца f зависит от требуемой точности обработки и может быть принята для чернового и получистового точения равной 0, 1 мм, а для чистового — 0, 05 мм. Момент инерции державки резца зависит от ее формы. Для прямоугольного сечения с шириной В и высотой Н он определяется по формуле I = ВН3/12. Из условия соотношений окружной составляющей Pz и максимальной нагрузки, допускаемой жесткостью резца, и после соответствующего представления Рz через элементы режима резания получают девятое ограничение в виде неравенства Pz £ Pж.доп, а после подстановки значений:
Ограничение 10. Жесткость заготовки. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных значений скорости резания и подачи с допустимыми. Из-за многообразия форм заготовок невозможно получить общие зависимости для описания рассматриваемого вида технического ограничения. Поэтому остановимся на его построении для точения гладкой цилиндрической заготовки и закрепления ее в центрах. В основу этого ограничения положено условие, при котором величина прогиба ус заготовки под действием радиальной составляющей силы резания Ру должна быть меньше или равна допустимому прогибу удоп, т.е. ус £ удоп. Из рис. 16.1. видно, что допустимый прогиб должен быть меньше величины допуска на размер: удоп£ 0, 5d, где d — допуск на размер, мм. Величина прогиба заготовки: Ус = Рух2р(Lз – хр)2/3ЕILз, где L3 — длина заготовки, мм; хр — расстояние от правого торца до места приложения силы (до резца), мм; I = pD4пр /64 — момент инерции сечения заготовки в месте искомого прогиба, мм4; Dпр — приведенный диаметр ступенчатого вала, мм. После преобразования рассмотренных формул и подстановки в них значения получим техническое ограничение по жесткости заготовки: Ограничение 11. Прочность механизма подач станка. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных скоростей резания и подачи с допустимыми по прочности механизма подач станка. Имеет место обобщенная зависимость определения силы для различных видов обработки Ps = Cs При продольном наружном точении коэффициенты zs, us, rs равны нулю, а при фрезеровании коэффициент ns=0. В общем виде ограничение имеет вид Ps£ PS доп. Значение PS доп находят в паспортных данных металлорежущего станка. Подставив в это неравенство выражение для Ps, Рисунок 16.1 - Схема деформации заготовки при точении под действием радиальной составляющей силы резания. получим техническое ограничение по прочности механизма подач станка: Ограничение 12. Требуемая шероховатость поверхности. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных скорости резания и подачи с допустимыми по требуемой высоте или форме шероховатости. Известно, что выбор скорости резания и особенно подачи при получистовой и чистовой обработке очень часто определяется требуемой шероховатостью поверхности. В основу этого ограничения могут быть положены многочисленные экспериментальные зависимости для различных характеристик шероховатости поверхности R (Ra, Rz, Rmax), шага микронеровности Sm, величины опорной поверхности tp, которые представляются в виде следующих выражений мультипликативного типа: где j1, j, r — параметры геометрии режущей части инструмента; k1, k2, k3, …, k7 — экспериментально установленные коэффициенты. После преобразования с учетом обеспечения требуемого значения шероховатости получают техническое ограничение также в виде неравенства: Знак неравенства определяется видом характеристики шероховатости. В тех случаях, когда требуется одновременно обеспечить несколько характеристик шероховатости, рассматриваемое техническое ограничение представляется в виде нескольких неравенств. Так, для обеспечения при наружном продольном точении заготовки из стали 45 шероховатости Ra и шага микронеровностей Sm могут быть использованы для построения технических ограничений следующие зависимости: Ra = 0.16 где у — передний угол резца. Выбранные и описанные выше технические ограничения, отражающие с определенной степенью точности физический процесс резания в совокупности с критерием оптимальности, образуют математическую модель процесса резания. При определении режимов резания широкое применение для двух элементов п и s имеет метод линейного программирования, общая задача которого состоит в определении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных равенств и неравенств и обеспечивающих наибольшее или наименьшее значение некоторой линейной функции — критерия оптимальности. Таким образом, первая задача, которая должна быть решена, — это приведение всех технических ограничений и оценочной функции к линейному виду. Для примера рассмотрим приведение к линейному виду первого технического ограничения методом логарифмирования: ln n + yv ln s £ ln ( Введя обозначения ln п = х1, ln(100s) =х2, ln ( и подставив их в неравенство, получим: x1+yvx2 £ b1. Аналогично могут быть получены в линейном виде зависимости для других технических ограничений. Анализ ранее рассмотренных видов и критериев оптимальности показывает, что при оптимизации по двум элементам режимов резания п и s без изменения глубины резания, стойкости инструмента и других технических факторов эти оценочные функции при введении ряда упрощений выражаются через п и s достаточно просто. Так, для минимальной себестоимости операции можно записать Соп = С1/(п s), где с1 — постоянная величина, не зависящая от режимов резания п и s. Из этого выражения видно, что значение оценочной функции является наименьшим, когда произведение ns максимальное. В этом случае при приведении оценочной функции к линейному виду можно получить: f 0 = (x1+x2) ® max. Преобразование технических ограничений к линейному виду и представление их в виде системы неравенств в совокупности с оценочной функцией дает математическую модель процесса резания металлов Математическая модель процесса резания может быть изображена в графическом виде. В этом случае каждое техническое ограничение представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоугольник ABCDEF, внутри которого любая точка удовлетворяет всем без исключения неравенствам. Поэтому этот многоугольник принято называть многоугольником решений (рисунок 16.2.). Рисунок 16.2 -Графическое изображение математической модели процесса резания Теория линейного программирования показывает, что экстремальное значение оценочной функции (при выпуклом многоугольнике решений) обеспечивается для х1 и х2, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или их пересечении. Поэтому задача отыскания оптимальных значений х[от и х2опт сводится к последовательному вычислению координат всех возможных точек пересечения граничных прямых и затем определению для них наибольшей суммы f = (х1+х2)таx. После определения координат х1опт и х2опт вычисляют оптимальные значения элементов режима резания по формулам: nопт = exp(х1опт), sопт = = exp(х2опт)/100. Для определения оптимального решения задачи, заданной системой линейных уравнений и неравенств, обычно используется метод полного перебора точек, образующих выпуклый многоугольник возможных решений. Определяются попарно точки пересечения прямых и подставляются координаты этих точек в неравенства системы. Точка, координаты которой удовлетворяют всем без исключения прямым (проверка на совместимость системы уравнений) и одновременно сумма координат которой (xi + x2) является наибольшей, и будет точкой оптимума. Последовательность решения задачи следующая. 1. Рассматривается пара прямых и производится их проверка 2. Если прямые параллельны, то рассматривается следующая 3. Проверяются знаки координат. Если координаты положительны, то путем подстановки в каждое из неравенств найденных 4. Если х1 и х2 положительны и удовлетворяют всем без исключения неравенствам, то определяется сумма координат t0=х1+x2 5. В случае противоречивости исходных данных может оказаться, 6. Если решение находится на прямой, параллельной прямой 7. Если система неравенств совместна и найдена точка, сумма координат которой х1 +х2 является наибольшей, то оптимальная частота вращения n = еx1 и оптимальная подача s = еx2/100. Эта же задача может решаться графически. Оценочная функция fo = х1+х2 изображается прямой, перпендикулярной к вектору максимизации М (рис.7.2.). Так как направление вектора М есть направление возрастания линейной функции f0, то следует ожидать, что в первой точке касания F с многоугольником решения она примет минимальное значение f0min, а в последней точке С — максимальное значение fomax. Следовательно, вершина многоугольника решений С является точкой оптимума, а ее координаты Х1с и Х2С — оптимальным решением системы.
Рисунок 16.3 – Схема алгоритма оптимизации режимов механической обработки для дискретных значений параметров v и s. Рисунок 16.4 – Результат автоматизированного расчета Рисунок 16.5 - Графическое изображение математической модели процесса резания В результате автоматизированного проектирования была получена распечатка таблицы, в которой приведены значения режимов резания и график на рассчитываемую поверхность.
|