Задача про завантаження обладнання

Нехай підприємству задано план виробництва продукції за часом і номенклатурою: треба за час Т виготувати n₁, n₂, …… n_k одиниць продукції Р₁, Р₂, P₃, ……P_k. Продукція обробляється на верстатах S₁, S₂, S₃, ……. S_m. Для кожного верстата відома продуктивність а_ij (тобто кількість одиниць продукції Р_j, яку можна виготувати на верстаті S_i) і витрати b_ij на виготовлення продукції Р_j на верстаті S_i за одиницю часу.

Необхідно скласти такий план роботи верстатів (тобто так розподілити обробку продукції між верстатами), щоб витрати на виробництво всієї продукції були мінімальними.

Позначимо х_ij – час, протягом якого верстат S_i буде виготовляти продукцію Р_j (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..n).

Оскільки час роботи кожного верстата обмежений і не перевищує Т, то справедливі нерівності:

x_{1, 1}+ x_{1, 2} +x_{1, 3} + ……. + x_{1, k} ≤ T

x_{2, 1}+ x_{2, 2} +x_{2, 3} + ……. + x_{2, k} ≤ T

x_{3, 1}+ x_{3, 2} +x_{3, 3} + ……. + x_{3, k} ≤ T (4)

x_{m, 1}+ x_{m, 2} +x_{m, 3} + ……. + x_{m, k} ≤ T

Для виконання плану виготовлення за номенклатурою необхідно, щоб виконувались рівності:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁+……………. + a_m1x_m1 ≤ n₁

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂+ …………… +a_m2x_m2 ≤ n₂

…………………………………………. (5)

a_1kx_1k+a_2kx_2k+………………+a_mkx_mk ≤ n_k

Крім цього, х_ij≥ 0, (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..k) (6)

Витрати на виробництво всієї продукції задаються функцією

L= b_1kx_1k+b_2kx_2k+……+b_mkx_mk → min (7)

Отже, ЕММ задачі про завантаження обладнання має вигляд:

Знайти такий розв’язок Х=(x₁₁, x₁₂, x₁₃, ……., x_mk), що задовольняє системам (4) – (6), за якою функція набуває мінімального значення.

6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.

Матричні ЕММ призначені для аналізу та планування виробництва та розподілу продукції на різних рівнях – від окремого підприємства до народного господарства в цілому.

Ціль балансового аналізу – відповісти на запитання: яким повинен бути об’єм виробництва кожної з галузей, щоб задовільнити усі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник продукції, а з другого боку як споживач продукції і своєї і інших галузей.

Зв’язок між галузями, відображається у таблицях міжгалузевого балансу, а математична модель, яка дозволяє їх аналізувати, розроблена в 1936 році американським вченим В. Леонтьєвим.

Основу балансу створює сукупність усіх галузей матеріального виробництва, їх число дорівнює n.

Кожна галузь двічі присутня в балансі: як виробник так і як споживач галузі. Як виробнику відповідає визначена строка балансу, а галузі як споживачу визначен стовпець балансу. Якщо номер будь якого виробника галузі позначити через i, аномер будь якої споживчої галузі через j, то величину х_ij потрібно розуміти як вартість засобів виробництва, вироблених у

i -й галузі та спожитої в якості матеріальних витрат в j-й галузі.

Матрична модель міжгалузевого балансу

В стовбцях міжгалузевого балансу відображена структура матеріальних витрат та чистої продукції кожної галузі. Припустимо. 1-а галузь – це виробництво електоенергії, друга – вугільна промисловість. Тоді величина х₁₁ показує вартість електроенергії, яку спожила 1-а галузь для своїх внутрішніх виробничих потреб. Величина x₁₂ відображає витрати вугілля при виробництві електроенергії. В цілому ж стовбець х₁₁, x₂₁, х₃₁,..., х_n1 характеризує структуру матеріальних витрат за звітний рік в розрезі галузей- постачальників.

В балансі відображені не тільки матеріальні витрати, но і чиста продукція галузей. Так, чиста продукція 1-ї галузі характеризується сумою оплати праці v₁ та чистого доходу (прибутку) m₁. підсумок матеріальних витрат та чистої продукції дорівнює, очевидь, валової продукції галузі (наприклад, для першої галузі – величені Х₁). Таким чином, можна записати:

Х1=х₁₁+х₂₁+х₃₁+…+х_n1+v₁+m₁ = (8)

Такі ж співвідношення вірні і для усіх галузей i мають наступний вигляд:

X (9)

Якщо подивитися на модель по строкам міжгалузевого балансу, то там представлен розподіл річного об’єму продукції кожної галузі матеріального виробництва.

Х₁ = х₁₁+х₁₂+х₁₃+ … +х_1т+y₁ =

тоді для будь-якої виробничої галузі

Х_i= (10)

Якщо порівняти ліву та праву частину рівнянь (9) та (10), то можна відмітити, що:

(11)

Вираз (11) показує, що в міжгалузевому балансі додержується принцип – єдність матеріального балансу та ватістного складу національного прибутку.

Квадрант I – проміжна продукція, показує розподіл матеріальних витрат по усім виробничим галузям.

Квадрант II – кінцева продукція, яка вийшла з сфери виробництва та попала в сферу збуту. В розгорнутому вигляді ії можна представити як продукцію, яка іде на власне споживання, на суспільні потреби, а також на поповнення ресурсів та експорт.

Квадрант III – характеризує національний дохід з боку його вартісного складу як суму оплати праці та чистого доходу усіх галузей матеріального виробництва.

Квадрант IV – відображення кінцевого розподілу та використання національного доходу.

Коефіціети прямих та побічних витрат.

(12)

- технологічні коєфіцієнти;

а_ij – коєфіцієнти прямих витрат

Прямі матеріальні витрати будемо називати витрати, обумовлені на кінцевому етапі виробництва.

Z_повн = Z_поб + Z_прям

З рівняння (12) маемо:

(13)

Тоді у формулу (10) підставимо x_ij:

Х_i= (14)

Яку запишемо в матричному вигляді:

(15), де

а – матриця кофіціентів прямих витрат

Рівняння (15) можна переписати у матричному вигляді:

Е , (15^*)

де Е – единична матриця:

(16)

= А – матриця повних витрат. Тоді:

(17)

Вираз (17) можна представити в розгорнутій формі:

(18)

В загальному вигляді для любої галузі i маємо:

(19)

Матриця а зветься продуктивною, як щодля любого вектора Y існує рішення Х рівняння (16). В цьому випадку і модель Леонтьева зветься продуктивною. Існує де кілька критеріїв визначення продуктивності матриці а. Один з них говорить, що матриця а продуктивна, якщо максимум сум ії столбців не перевищує одиниці, причому хоча б для одного з столбців сума елементів строго менше одиниці.

Зауважимо, що система рівнянь даної задачі допускає тільки невід’ємні розв’язки. Достатні умови існування таких розв’язків через власні числа матриці а можна записати так: λ _max< 1.

Питання для самоконтролю.

1. В звязку з чим, виникла потреба при аналізі економічних систем в використанні математичного аппарату та обчислювальної техніки?

2. Що таке математичне моделювання?

3. Що таке модель?

4. Признаки кваліфікації моделей?

5. Які задачі вивчає математичне програмування?

6. Що включає математична модель задачі МП?

7. Постановка задачі ЛП.

8. Постановка задачі НП.

9. Назвіть типи програмування.

10. Сформулюйте задачу про максимальну рентабільність підприємства.

11. Сформумюйте задачу про завантаження обладнання.

12. Що таке балансовий аналіз?

13. Напішить матриці прямих, побічних та повних витрат.

14. Сформулюйте достатні умови продуктивності матриці прямих витрат.

Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язання

Лекція 2

Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (ЛП).

Мета: ознайомити студентів з основними теоремами та властивостями задач лінійного програмування, розібрати задачі МП, які розв’язуються графічним методом.

План лекції

1. Загальна задача ЛП.

2. Основні теореми та властивості задачі ЛП.

3. Графічний метод розв’язання задач МП.

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2.Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К.: «Слово», 2008. – 296 с.

3.Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.

1. Загальна форма задачі лінійного програмування (ЛП).

Означення 1. Загальною формою задачі ЛП є задача на знаходження екстремуму (мінімуму чи максимуму) лінійної цільової функції f при лінійній системі обмежень g_i, що включає як рівності, так і нерівності з обох боків при невідомих змінних, з яких одні пов’язані умовою невід’ємності, другі – умовою недодатності, а на знак третіх ніяких умов не накладено, тобто задача має таких вигляд:

f(x)= c₁x₁ + c₂x₂ + …. + c_nx_n → extr (max/min) (1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ….. +a_1nx_n{ ≤ = ≥ }b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₃₃x₃ + …..+ a_2nx_n{ ≤ = ≥ }b₂

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n{ ≤ = ≥ }b_k (2)

a_m.1x₁ + a_m.2x₂ + a_m.3x₃ + a_m.nx_n { ≤ = ≥ } b_m

x_i≥ 0 i= 1, m (3)

Отже, загальна задача ЛП є формою із змішаною системою обмежень.

Означення 2. Задача ЛП має канонічний вигляд, якщо в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді рівнянь та (3).

Означення 3. Задача ЛП має стандартний вигляд, якщо в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді нерівностей ≤ та (2.3), коли шукається max цільвої функції f, або в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді ≥ та (3), коли шукається min цільвої функції f.

Перейти від стандартного вигляду задачі ЛП можна за допомогою додовання невід’ємних змінних.

В теоретичному плані всі задачі ЛП можна розглядати тільки як задачі на мінімум чи на максимум, змінивши знак цільової функції:

f(x)=c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + …… +c_nx_n → max

z(x) = - f(x) = -(c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + …… +c_nx_n) → min

Система обмежень (2) – (3) може бути сумісною або несумісною. Сумісна система обмежень визначає в n-вимірному векторному просторі область визначеності задачі, інакше, область існування планів задачі ЛП. Кожна крапка області означеності є планом задачі, а сама область є множиною планів задачі ЛП.

Формулювання задачі буде некоректним, якщо система обмежень задачі несумісна, суперечлива. Тоді множина планів задачі, не містить жодного плану, буде порожньою.

Запишемо задачу ЛП в матричній формі:

f(x)=(c, x) → max (4)

при обмеженнях

АХ=В (5)

Х≥ 0 (6)

де (,) – скалярний добуток

А – матриця умов задачі

В – вектор обмежень (вектор вільних членів задачі)

Х – вектор невідомих змінних

С – вектор цільової функції.

RangA=k визначає кількість базових змінних (незалежних змінних), усі інші змінні вважаються вільними (залежними).

Рішення системи обмежень, у якому вільні змінні дорівнюють нулеві, зветься базовим планом.

Будь який невід’ємний розв’язок системи обмежень задачі ЛП зветься допустимим планом.

План, що надає цільовій функції максимального значення, будемо вважати оптимальним.

2. Основні теореми та властивості задачі ЛП.

Запишимо задачу ЛП в векторній формі:

F(x)=(c, x) → max (7)

x₁P₁ + x₂P₂ + x₃P₃ +…… + x_nP_n= P₀ (8)

X≥ 0 (9)

P₁= (a_11, a₂₁, а₃₁…….a_m1), P₂= (a_12, a₂₂, а₃₂…….a_m2), ……….. P_n= (a_1n, a_2n, а_3n…….a_nm),

P₀=(b₁, b₂, b_3……. b_m) – m-мерні вектор столбці.

Означення 4. План Х=(х₁, х₂, х₃…….х_n) називається опорним планом задачі ЛП, якщо система векторів Р_j, які відповідають додатним компонентам x_j плану Х, утворюють лінійно незалежну систему.

Так як вектори Р_j належать m-мірному простору, то з означення опорного плану витікає, що число його додатних компонент не може буди більш ніж m.

Означення 5. Нехай Х₁, Х₂, Х₃, ……, Х_n – вільні крапки евклідова простору R_n. Опуклою лінійною комбінацією цих крапок є сума λ ₁Х₁+ λ ₂Х₂+ λ ₃Х₃+...... + λ _nХ_n, де λ _i≥ 0 та ∑ λ _i=1.

Означення 6. Множина U називається опуклою, якщо для будь яких n крапок Х₁, Х₂ , …Xn є U, до U належить будь яка опукла комбінація цих крапок, тобто [ λ ₁Х₁+ λ ₂Х₂+ λ ₃Х₃+...... + λ _nХ_n] є U, де λ _i≥ 0 та ∑ λ _i=1.

Означення 7. Крапка Х опуклої множини є кутовою, якщо ця крапка не може бути означена в вигляді опуклої лінійної комбінації яких не будь n крапок даної множини.

Теорема 1. Опуклий n – мірний многогранік є лінійною комбінацією своїх кутових крапок.

Теорема 2. Множина планів задачі ЛП є опуклою множиною, якщо вона не поржня.

Означення 8. Не поржня множина планів задачі ЛП називається многогранником розв’язків, а будь яка кутова крапка многогранника розв’язків – вершиною.

Теорема 3. Якщо задача ЛП має оптимальний план, то максимальнє значення цільова функція задачі приймає в одній із вершин многогранника розв’язків.

Якщо максимальне значення цільової функції задачі приймає більш ніж в одній вершині, то вона приймає його і в усіх крапках лінійної комбінації цих вершин.

Теорема 4. (Критерій кутової крапки многогранника розв’язків). Для того щоб крапка Х=(х₁, х₂, х₃…..х_к, ....... х_n), многогранника розв’язків була кутовою, небхіно і достатньо, щоб вектори Р_j, які відповідають додатним компонентам х_j, утворювали лінійно незалежну систему.

Висновки:

1. Не поржня множина задачі ЛП – опуклий многогранник.

2. Кожна вершина многогранника - опорний план.

3. В одній із вершині многогранника розв’язків цільова функція приймає максимальне значення.

4. Якщо, максимальне значення цільова функція приймає більш ніж в одній вершині – тоді таке ж значення цільова функція приймає і в лінійній комбінації цих вершин.

3. Графічний метод розв’язання задач МП.

Загальна задача ЛП геометрично інтерпретується так: кожне k – те обмеження – рівність

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n= b_k (k=1, ….m)

задає в n – вимірному просторі основних змінних х₁, х₂, х₃…..х_к, ....... х_n гіперплощину, а кожне k – те обмеження – нерівність

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n ≤ b_k (k=1, ….m), визначає деяку ггіперплощину та півпростір n – вимірного простору, що лежить на один бік від цієї гіперплощини. За умоми сумітності системи нерівностей (2) та (3), перетин усіх цих півпросторів як опуклих множин, утворює опуклий многогранник допустимих розв’язків. Кожна вершина цього многогранника розв’язків визначає опрний план.

Розглянемо геометричну інтерпритацію задачі ЛП для випадку n=2.

Задача 1. Розв ’ язати задачу ЛП графічно.

2х₁ + 3х₂≤ 12

2х₁ - х₂≤ 4

х₁, х₂≥ 0

а) z =3х₁ + х₂→ max

b) z =х₁ + 5х₂→ max

c) z =4х₁ + 6х₂→ max

Алгоритм розв’язку задачі ЛП графічним методом

1. Побудова многогранника розв ’ язків.

Визначаємо область допустимих розв ’ язків (перетин півплощін, що відповідають, обмеженням задачі). Згідно з обмеженнями (3) многокутник розв ’ язків міститься у першому квадранті. Область допустимих розв ’ язків (ОДР) може бути поржньою множиною, опуклим многокутником або необмеженою многокутною опуклою областю.

У першому випадку задача ЛП не має розв ’ язків.

В другому – завжди існує точка (або точки), в яких цільова функція (1) набуває максимального або мінімального значення.

У третьому – лінійна функція (1) на ОДР може не досягти екстремуму.

Надалі, нехай ОДР не є порожньою множиною.

2. Будуємо вектор нормалі N=(c₁, c₂). Вектор нормалі вказує на напрямок зростання цільової функції (1).

3. Проводимо перпендикулярно до вектора нормалі N=(c₁, c₂) лінію рівня.

4. Визначення оптимальних крапок.

Для знаходження крапки максимуму цільової функції зміщуємо лінію рівня паралельно самій собі у напрямку вектора нормалі N доти, доки пряма не стане опорною до множини ОДР.

5. Обчислення оптимальних значень.

Для цього знаходимо координати вершин, в яких досягається максимум (мінімум) цільової функції (1) та обчислюємо ці значення.

У загальному вигляді задача МП з двома змінними формулюється таким чином:

Z=f(x₁, x₂) → max/min (10)

За умов

g_k(x₁, x₂)≤ b_k к=1, 2,......m (11)

x₁, x₂≥ 0 (12)

де f та g_k можуть бути лінійними або нелінійними.

При розв’язанні задачі (10) – (12) графічним методом важливим є поняття лінії рівня цільової функції.

Лінія рівня цільової функції називається така множина значень іі змінних, при яких функція набуває сталого значення f(x₁, x₂)=c:

- для лінійної функції f(x₁, x₂)=c=const – паралельні прямі;

- для квадратичної функції f(x₁, x₂)=(х₁)² +(х₂)² = c =const – концентричні кола різних радіусів r=(c)^1/2;

- для f(x₁, x₂)=a(х₁)² +b(х₂)² = c =const – концентричні еліпси.

Алгоритм знаходження розв’язку задачі МП графічним методом.

1. Знаходимо ОДР.

2. Будуємо лінії рівня цільової функції f(x₁, x₂)=c.

3. Визначаємо лінії рівня найвищого (найнижчого) рівня або встановлюємо нерозв’язність задачі із-за необмеженості цільової функції зверху (знизу) на ОДР.

4. Знаходимо крапку області допустимих розв’язків, через яку проходить лінія найвищого (найнижчого) рівня і обчислюємо у ній значення цільової функції.

Питання для самоконтролю.

1. Сформулюйте задачу ЛП в загальній формі.

2. Сформулюйте задачу ЛП в канонічній формі.

3. Сформулюйте задачу ЛП в стандартній формі.

4. Запишіть задачу ЛП в матричній формі.

5. Запишіть задачу ЛП в векторній формі.

6. Дайте означення опорного плану задачі ЛП.

7. Дайте означення опуклої множини.

8. Дайте означення кутової точки.

9. Дайте означення області допустимих розв’язків.

10. Сформулюйте критерій кутової крапки многогранника розв’язків.

11. Як визначити кількість базових змінних?

12. Дайте означення базових та вільних змінних.

13. Дайте означення допустимого плану.

14. Дайте означення оптимального плану.

15. Що таке вектор нормалі цільової функції?

16. Дайте означення лінії рівня цільової функції.

Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання

Лекція 3

Тема лекції: Вирішення задач ЛП симплекс-методом.

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач ЛП симплекс – методов, методом штучного базису.

План лекції

1. Представлення задач ЛП в матричній та векторній формі.

2. Симплексний метод розв’язання задач ЛП. Теоретичні основи симплекс-метода.

3. Метод штучної бази.

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2. Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К.: «Слово», 2008. – 296 с.

3. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.

1. Представлення задач ЛП в матричній та векторній формі.

f(x)= c₁x₁ + c₂x₂ + …. + c_nx_n → extr (max/min) (1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ….. +a_1nx_n{ ≤ = ≥ }b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₃₃x₃ + …..+ a_2nx_n{ ≤ = ≥ }b₂

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n{ ≤ = ≥ }b_k (2)

a_m.1x₁ + a_m.2x₂ + a_m.3x₃ + a_m.nx_n { ≤ = ≥ } b_m

x_i≥ 0 i= 1, m (3)

Запишемо задачу ЛП в матричній формі:

f(x)=(c, x) → max (4)

при обмеженнях

АХ=В (5)

Х≥ 0 (6)

де (,) – скалярний добуток

А – матриця умов задачі

В – вектор обмежень (вектор вільних членів задачі)

Х – вектор невідомих змінних

С – вектор цільової функції.

Запишимо задачу ЛП в векторній формі:

F(x)=(c, x) → max (7)

x₁P₁ + x₂P₂ + x₃P₃ +…… + x_nP_n= P₀ (8)

X≥ 0 (9)

P₁= (a_11, a₂₁, а₃₁…….a_m1), P₂= (a_12, a₂₂, а₃₂…….a_m2), ……….. P_n= (a_1n, a_2n, а_3n…….a_nm),

P₀=(b₁, b₂, b_3……. b_m) – m-мерні вектор столбці.

2. Симплексний метод розв ’ язання задач ЛП. Теоретичні основи симплекс-метода.

Симплекс метод полягає в послідовних переходах від одних опорних планів до інших так, щоб значення цільової функції зростало (якщо задача ЛП задається на пошук максимуму) або на зменшення цільової функції (якщо задача ЛП задається на пошук мінімуму). Оскільки число опорних планів задачі скінченне, то через скінченне число кроків отримаємо оптимальний опорний план (якщо він існує, або впевненість, що цільова функція на множені планів необмежена).

Розглянемо два різновиди симплексного метода:

· Симплекс – метод із стандартним базисом;

· Симплекс метод із штучним базисом (М- метод).

Симплекс – метод із стандартним базисом

Для застосування цього методу розглянемо задачу ЛП у канонічному вигляді

Z=∑ c_ix_i → max

за умов

х₁e₁+ х₂e₂+ х₃e₃ + ….. + х_me_m + х_m+1P_m+1 + ….. + х_nP_n=P₀, де

e_i – одиничні вектори, P_k = (a_1k, a_2k, ….. a_mk) (k=m+1, m+2, …. n), P₀ = (b₁, b₂, … b_m)

Оскільки перші m векторів е_i одиничними, то легко бачити, що виконується рівність

b₁e₁+ b₂e₂+ b₃e₃ + ….. + b_me_m =P₀.

Тоді очевидним є початковий опорний план: X=(b₁, b₂, b₃, ….. b_m, 0….0), який перевіряємо на оптимальність. Для цього заповнюємо симплексну таблицю.

Таблиця 1.

Усі рядки за винятком останнього рядка заповнюються за даними системи обмежень і цільової функції. Останній рядок обчислюється за формулою:

Δ _j=∑ c_ia_ij – c_j, (j=1, 2, …. n) і Δ ₀=∑ c_ib_i. Останній рядок називається індексним_.

Отриманий план перевіряють на оптимальність, зміст якої розкривається у наступних теоремах.