Примеры. Задача 1. Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.

Задача 1. Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.

Дано: Дано:

Доказать СМ, АВ, ВD — стороны Доказать:

треугольника.

Задача 2. Докажите, что высоты треугольника переносятся в одной точке.

Дано:

Дано:

Доказать: Доказать:

Целесообразно сравнить векторный и геометрический способы решения. (для: любого треугольника)

Отсюда ясно, что если

Во вспомогательной задаче все векторы выразить через .

Задача 3. В кубе АВСDА₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁, до плоскости АСВ_1. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

Вывод:

-x-y+z+1=0

Решение алгебраических задач с помощью векторов:

Доказать неравенство:

3.. Решите неравенство: .

Решение. Рассмотрим векторы a(6-x; 2), b(x-2; 1), c(4; 3). Заметим, что a+b=c,

значит по неравенству треугольника |a|+|b| |с|. Но |a|= , |b|= , |c|=5 и тогда . Следовательно, решением данного неравенства будут только те значения переменной, при которых выполняется равенство , т.е. |c|=|a|+|b|.

Это равенство возможно, если векторы a, b, c коллинеарны (см.задачу 1.11). По необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов векторов (см.3.5) будем иметь: 6-x/x-2=2/1, x=31/3.

Ответ: 31/ 3.