Фильтр Баттерворта (тип В).

I. Решение аппроксимационной задачи.

На этапе решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция H(z) фильтр, воспроизводящая заданную АЧХ А(W) с требуемой точностью (DА_п – допуск на максимальное значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания; DА_з – допуск на максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания).

Исходными данными являются граничные частоты полос пропускания и задерживания (f_г.п, f_г.з) частота дискретизации (f_А), а также величин DА_П и DА_З.

В качестве исходных данных при решении аппроксимационной задачи могут задаваться не требования к АЧХ А(W), а требования к характеристике затухания а(w) [а(w)=-20 lgA(w)]. В этом случае исходные данные: Dа – верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания; а₀ – нижняя граница затухания в полосе задерживания. [Dа=-20 lg(1-DA_п); a₀==-20 lg(DA_з)].

Для расчета избирательных БИХ-фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее используется косвенный метод синтеза фильтров – метод билинейного преобразования (передаточная функция T(s) аналогового фильтра прототипа преобразуется в передаточную функцию H(z) цифрового БИХ-фильтра). Достоинством метода билинейного преобразования по сравнению с другими методами преобразования аналогового фильтров в цифровые является то, что данный метод обеспечивает построение данного БИХ-фильтра, выходной сигнал которого приближенно совпадает с выходным сигналом аналогового фильтра – прототипа при одинаковых произвольных входных сигналах.

В результате решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция T(s) аналогового фильтра, АЧХ А(W) которого приближается к определенной идеальной характеристике нормированного фильтра (Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева, Золотарева-Кауэра).

Фильтр Баттерворта (тип В).

Передаточная функция

АЧХ монотонно убывает при увеличении W, затухание монотонно возрастает.

Фильтр Чебышева (тип Т)

Передаточная функция

АЧХ равноволновая в полосе пропускания, монотонно убывающая в полосе задерживания.

Инверсные фильтры Чебышева (тип I)

Передаточная функция

АЧХ равноволновая в полосе задерживания и монотонно убывающая в полосе пропускания.

Фильтры Золотарева-Кауэра (тип С)

Передаточная функция

АЧХ равноволновая в полосах пропускания и задерживания.

Алгоритм определения передаточной функции цифрового фильтра H(z) состоит из этапов:

1. Расчет нормированных “граничных частот”:

2. Расчет параметра преобразования g (таблица 1).

Таблица 1

Цифровой фильтр	Граничные цифровые частоты	Формула замены	Параметр	Связь “аналоговых” частот с “цифровыми частотами”	Граничные “аналоговые ” частоты
Нижних частот (ФНЧ)
Верхних частот (ФВН)
Полосовой (ПФ)
Режекторный (РФ)

3. Нахождение граничной “аналоговой” частоты W_k полосы задерживания аналогового фильтра-прототипа (таблица 1).

4. Определение передаточной функции T(s) аналогового нормированного фильтра-прототипа необходимого диапазона частот требуемого типа (В, Т, I и С):

4.1. Определение модуля коэффициента отражения |р| (таблица 2).

Таблица 2.

4.2. Определение вспомогательного параметра L по общей номограмме рис.1.

Рис.1

4.3. Определение порядка n передаточной функции по номограмме для соответствующего типа фильтра (рис.2 (В); рис.3 (Т, I); рис.4 (С)).

Рис.2 Рис.3 Рис.4

4.4. Запись передаточной функции T(s) в общем виде в зависимости от типа выбранного фильтра (см. стр.1, 2).

4.5. Определение численных значений коэффициентов T(s) из таблиц с учетом величин n, |p| и W_k.

Для В-фильтра.

Таблица 3.

	0, 05006262	3, 1602993306	3, 1602993305
	0, 10050378	2, 2304567213	2, 2304567213
	0, 15171652	1, 8253842510	1, 8153842509
	0, 25819889	1, 3915788419	1, 3915788418
	0, 57735027	0, 9306048582	0, 9306048582

 

	0, 05006262	2, 7132854279	1, 3566427140	2, 3497741083
	0, 10050378	2, 1508388528	1, 0754144564	1, 8626724257
	0, 15171652	1, 8749471964	0, 9374735982	1, 6237519029
	0, 25819889	1, 5704178025	1, 7852089012	1, 3600217115
	0, 57735027	1, 2009369490	0, 6004684745	1, 0400419062

 

 

	0, 05006262		0, 8090237244	1, 9531560473
	1, 9521560478	0, 8090237244
	0, 10050378		0, 6796636758	1, 6408532638
	1, 6408532639	0, 6796636757
	0, 15171652		0, 61317076610	1, 4803251816
	1, 4803251816	0, 6131707669
	0, 25819889		0, 5368476642	1, 29606449118
	1, 2960649118	0, 5368476642
	0, 57735027		0, 4390154585	1, 0598770740
	1, 05987770740	0, 4390154585