Расчет критерия χ2

Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле:

ν =κ -1

где κ - количество разрядов признака.

Если ν = 1, внести поправку на " непрерывность".

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как χ ²_ЭМП.

8. Определить по Табл. IX Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы V.

Если χ ²_эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если χ ²_эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл. 4.2.

Таблица 4.2

Расчет критерия χ 2 при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на f _т. В данном случае это возможно, так как f _т для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (f _{э i} — f _т)²/ f _т до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма раз­ностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необ­ходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где f_эj - эмпирическая частота по j-тому разряду признака; f _т - теоретическая частота; j - порядковый номер разряда; k - количество разрядов признака. В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения %, нам нужно определить число степеней свободы V по формуле: ν = k -l

где k - количество разрядов. В нашем случае ν =4—1=3. По Табл. IX Приложения 1 определяем:

Построим " ось значимости". Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина χ 2. Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости -слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

χ ² _эмп< χ ² _кр.

Ответ: Н₀ принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихо­новны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Но, допустим, тетушка на этом не успокоилась. Она стала вни­мательно следить за тем, сколько раз племянница упомянет в разговоре каждого из женихов. Допустим, ею получено следующее распределение упоминаний Агафьей Тихоновной женихов и их достоинств:

Никанор Иванович - 15 раз,

Иван Кузьмич - 6 раз,

Иван Павлович - 9 раз,

Балтазар Балтазарыч - 6 раз.

Тетушка уже видит, что похоже, Никанор Иванович (" уж такой великатный, а губы, мать моя, - малина, совсем малина") пользуется большей благосклонностью Агафьи Тихоновны, чем все остальные же­нихи. У нее есть два пути, чтобы это доказать статистически.

1) Суммировать все проявления благосклонности со стороны невесты: взгляды + упоминания в разговоре, - и сопоставить полученное рас­пределение с равномерным. Поскольку количество наблюдений воз­росло, есть шанс, что различия окажутся достоверными.

2) Сопоставить два эмпирических распределения - взгляда и упомина­ний в разговоре, - с тем, чтобы показать, что они совпадают между собой, то есть и во взглядах, и в словах Агафья Тихоновна придер­живается одинаковой системы предпочтений. Проанализируем оба варианта сопоставлений. В первом случае мы будем решать уже известную нам задачу со­поставления эмпирического распределения с теоретическим. Во втором случае мы будем сопоставлять два эмпирических распределения. Первый вариант развития шутливого примера: увеличение количества наблюдений

Вначале создадим таблицу эмпирических частот, в которой будут суммированы все замеченные проявления благосклонности невесты.

Таблица 4.3

Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами

Теперь сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение проявлений благосклонности невесты (взгляды и упо­минания в разговоре) не отличается от равномерного распределения. H₁: Распределение проявлений благосклонности невесты отличается от равномерного распределения.. Все расчеты произведем в таблице по алгоритму.

Таблица 4.4

Расчет критерия χ 2 при сопоставлении проявлений благосклонности Агафьи Тихоновны с равномерным распределением

χ ²_эмп=12, 71

χ ²_эмп> χ ²_кр.

Ответ: H₀ отклоняется, принимается Н₁. Распределение прояв­лений благосклонности невесты между женихами отличается от равно­мерного распределения (р< 0, 01).

На этом примере мы убедились, что увеличение числа наблюде­ний повышает достоверность результата, если, конечно, в новых наблю­дениях воспроизводится прежняя тенденция различий.

Второй вариант развития шутливого примера: сопоставление двух эмпирических распределений

Теперь мы должны ответить на вопрос, одинаковая ли система предпочтений проявляется во взгляде Агафьи Тихоновны и ее словах?

Сформулируем гипотезы. Н₀: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений не различаются между собой.

H₁: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений различаются между собой.

Для подсчета теоретических частот нам теперь придется соста­вить специальную таблицу (Табл. 4.5). Ячейки в двух столбцах слева обозначим буквами. Для каждой из них теперь будет подсчитана особая, только к данной ячейке относящаяся, теоретическая частота. Это обу­словлено тем, что количества взглядов и словесных отзывов невесты о женихах неравны; взглядов 32, а словесных отзывов - 36. Мы должны всякий раз учитывать эту пропорцию.

Таблица 4.5

Эмпирические и теоретические частоты взглядов и упоминаний о жениха

Рассчитаем эту пропорцию. Всего проявлений благосклонности отмечено 68, из них 32 - взгляды и 36 - словесные высказывания. До­ля взглядов составит 32/68=0, 47; доля упоминаний - 36/68=0, 53.

Итак, во всех строках взгляды должны были бы составлять 0, 47 всех проявлений по данной строке, а упоминания в разговоре - 0, 53 всех проявлений. Теперь, зная суммы проявлений по каждой строке, мы можем рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки Табл. 4.5.

f _Атеор=29*0, 47=13, 63

f _Бтеор=29*0, 53=15, 37

f _Втеор=11*0, 47=5, 17

f _Гтеор=11*0, 53=5, 83

f д_теор=17*0, 47=7, 99

f _Eтеор=17*0, 53=9, 01

f _Жтеор=110, 47=5, 17

f _Зтеор=11*0, 53=5, 83

Ясно, что сумма теоретических частот по строкам будет равнять­ся сумме всех проявлений по данной строке. Например,

f _Атеор+ f _Бтеор=13.63+15, 37=29

f _Втеор+ f _Гтеор=5, 17+5, 83=11

f _Дтеор+ f _Етеор=7, 99+9, 01=17 и т.д.

При такого рода подсчетах лучше всякий раз себя проверить. Теперь мы можем вывести общую формулу подсчета f _теордля сопостав­ления двух или более эмпирических распределений:

Соответствующими строкой и столбцом будут та строка и тот столбец, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы. Теперь нам лучше всего сделать развертку Табл. 4.5, представив все ячейки от А до Ж в виде первого столбца - это будет столбец эмпири­ческих частот. Вторым столбцом будут записаны теоретические часто­ты. Далее будем действовать по уже известному алгоритму. В третьем столбце будет представлены разности эмпирических и теоретических частот, в четвертом - квадраты этих разностей, а в пятом - результаты деления этих квадратов разностей на соответствующие каждой строке теоретические частоты. Сумма в нижнем правом углу таблицы и будет представлять собой эмпирическую величину % (Табл. 4.6).

Таблица 4.6

Расчет критерия χ 2 при сопоставлении распределений невербальных и вербальных признаков благосклонности невесты

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле:

v =(k -1)·(c -1)

где k - количество разрядов признака (строк в таблице эмпири­ческих частот);

с - количество сравниваемых распределений (столбцов в таб­лице эмпирических частот).

В данном случае таблицей эмпирических частот является левая, эмпирическая часть таблицы 4.5, а не на ее развертка (Табл. 4.6). Количество разрядов - это количество женихов, поэтому k=4. Количество сопоставляемых распределений с=2. Итак, для данного случая,

v=(4-l)(2-t)=3

Определяем по Табл. IX Приложения 1 критические значения для ν =З:

Ответ: Н₀ принимается. Распределения невербально и вербально выражаемых невестой предпочтений не различаются между собой.

Итак, Агафья Тихоновна весьма последовательна в проявлении своих предпочтений, хотя, по-видимому, сама этого пока не замечает.

Иллюстрация 2

Третий вариант развития шутливого примера: сопоставление встречных выборов

К сожалению, в этом пункте мы от комедии вынуждены перейти к драме - истинной драме любви. Ибо, судя по тексту пьесы, прояв­ляемые женихами признаки влюбленности и симпатии по отношению к невесте отнюдь не соответствуют ее собственной системе предпочтений. У Ивана Павловича, а, главное, у Никанора Ивановича, которому не­вестой отдается столь явное предпочтение, проскальзывают в разговоре по большей части как раз отрицательные и задумчиво-неодобрительные отзывы о невесте: " Нос велик... Нет, не то, не то... Я даже думаю, что вряд ли она знакома с обхождением высшего общества. Да и знает ли она еще по-французски".

Благосклонных отзывов (" А сказать правду - мне понравилась она потому, что полная женщина" и т. п.) поступило:

от Никанора Ивановича - ни одного;

от Ивана Кузьмича - 15*

от Ивана Павловича - 6*

от Балтазара Балтазарыча - 18.

Попробуем ответить на вопрос: согласуются ли распределения (благосклонных отзывов невесты о женихах и женихов о невесте?

Мы видим, что это действительно особая задача. Мы сопостав­ляем два эмпирических распределения с совпадающей классификацией разрядов, но в одном случае это распределение реакций одного челове­ка на четверых других, а в другом случае это реакции четырех человек на одного и того же человека.

Такая модель взаимных реакций может использоваться отнюдь не только в области брачных консультаций, но и в решении задач " построения команды", выбора заместителя, подбора пар в тех видах деятельности, где требуется активное постоянное взаимодействие, в ис­следованиях социальной перцепции и взаимного влияния, в тренинге сенситивности и др.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение положительных отзывов невесты совпадает с рас­пределением положительных отзывов женихов.

H₁: Распределение положительных отзывов невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов.

Построим таблицу для подсчета теоретических частот.

Таблица 4.7

Эмпирические и теоретические частоты положительных высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

Теоретические частоты рассчитываем по уже известной формуле:

f _{а теор}=15*36/75=7, 20

f _{Б теор}=15*39/75=7, 80

f _{В теор}=21*36/75=10, 08

f _{Г теор}=21*39/75=10, 92

f _{Д теор}=15*36/75=7, 20

f _{Е теор}=15*39/75=7, 80

f _{Ж теор}=24*36/75=11, 52

f _{З теор}=24*39/75=12, 48

Суммы теоретических частот по строкам совпадают. Все даль­нейшие расчеты выполним в таблице по алгоритму.

Таблица 4.8

Расчет критерия χ 2 при сопоставлении распределений высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

Определим число степеней свободы V по количеству строк k и столбцов с в левой части Табл. 4.7: (k =4, c=2).

v=(k-1)(c-1)

Критические значения χ 2 для ν =3 нам уже известны:

Ответ: Н₀ отвергается. Принимается H₁. Распределение положительных отзывов предпочтений невесты не совпадает с распределени­ем положительных отзывов женихов (ρ < 0, 01).

Итак, если бы Иван Кузьмич Подколесин не сбежал, Агафью Тихоновну могло бы ожидать не меньшее разочарование: предпочитаемый ею Никанор Иванович, " тонкого поведения человек", ее отвергает.

Мы не рассмотрели лишь третью группу возможных гипотез в методе χ 2. Они, как мы помним, касаются сопоставлений одновременно 3 и более распределений. Принцип расчетов там такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений. Это касается и фор­мулы расчета теоретических частот, и алгоритма последующих расчетов.

Рассмотрим особые случаи в применении метода χ 2.