Теория многообразий: всё и границы, границы и дыры

В своей знаменитой статье «Наделен ли полом субъект науки?» Люси Иригарей указывает на то, что

В теории множеств математические науки интересуются открытыми и закрытыми пространствами […]. Они почти совсем не уделяют внимания вопросу приоткрытого, нечетких множеств, всего того, что рассматривает проблему краев⁶⁹ […]

В 1982 году, когда эссе Иригарей появилось в первый раз, оно оказалось весьма сильной критикой: дифференциальная топология традиционно отдавала дань предпочтения исследованию того, что в технических терминах называется «многообразиями без границы». Но в последнее десятилетие некоторые математики под влиянием феминистской критики уделили особое внимание теории «многообразий с границей⁷⁰». И, быть может, нет никакого совпадения в том, что именно эти многообразия появляются в новой физике теории конформных полей, теории сверхструн и квантовой гравитации.

В теории струн квантовая амплитуда, необходимая для взаимодействия между и закрытыми или открытыми струнами представлена функциональным интегралом (в основе являющимся суммой) по полям, которые располагаются на двухмерном многообразии с границей⁷¹. В квантовой гравитации мы можем ожидать, что картина будет схожей, за исключением того, что двухмерное многообразие с границей будет замещено многомерным. К несчастью многомерность направлена против течения устоявшейся линейной математической мысли, и, несмотря на недавние открытия (связанные главным образом с изучением многомерных нелинейных феноменов в теории хаоса), теория многомерных многообразий с границей остается не очень развитой. Тем не менее, работа физиков по приближению функционального интеграла к квантовой гравитации идет своим чередом⁷², а эта работа несомненно вызовет интерес у математиков⁷³.

Иригарей предвосхитила важный вопрос всех этих теорий: можно ли нарушить (пересечь) границы, и что происходит в случае их пересечения? Эта проблема известная под техническим наименованием «условий границы». На чисто математическом уровне наиболее поразительной характеристикой этих условий границы оказывается разнообразие возможностей: к примеру, «условия со свободными границами» (когда нет препятствий, которые нужно было бы преодолевать), «условия с отражающими границами» (зеркальное отражение), «условия с периодическими границами» (возвращение к другому месту многообразия) и «условия с антипериодическими границами» (возвращение с разворотом на 180°). Вот вопрос, который ставят физики: какие из всех этих возможных условий границы реально появятся в репрезентации квантовой гравитации? Или, быть может, они появятся все одновременно, в качестве равноправных элементов, как на то указывает принцип дополнительности⁷⁴?

Дойдя до этого пункта, я должен остановить мое изложение развития физики по той простой причине, что ответ на эти вопросы — даже если предположить, что он должен быть однозначным — пока неизвестен. В оставшейся части моего эссе я буду отправляться от достаточно хорошо установленных (по крайней мере в пределах норм обычной науки) характеристик теории квантовой гравитации и попытаюсь извлечь из них философские и политические следствия.