Передача тепла через плоскую стенку Граничные условия первого рода

Рассмотрим однослойную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянные температуры t_с1 и t_с2. Температура будет меняться только в направлении х. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае можно записать

d²t/dx²=0.

Граничные условия представим в следующем виде

x

d

q

t_c1

t_c2

t

Рис.1

Решение получаем путем двойного интегрирования уравнения.

Первое интегрирование дает

После второго интегрирование получим

Постоянные С₁ и С₂ получим из граничных условий

Тогда закон распределения температуры по толщине стенки имеет вид

При решении задач стационарной теплопроводности через стенки часто в качестве искомой величины выступает плотность теплового потока. Согласно закону Фурье

С учетом того, что

получаем

Величина l/d называется тепловой проводимостью стенки, а величина d/l ее тепловым или термическим сопротивлением.

Часто в технике используют стенки, составленные из разнородных слоев. Так как теплопроводность стационарная и внутренние источники тепла в слоях отсутствует плотность теплового потока через изотермическую поверхность, проведенную в любом слое, есть величина постоянная. Поэтому для стенки, состоящей из n слоев можно следующую систему уравнений.

Передача тепла через плоскую стенку.

Граничные условия третьего рода. Теплопередача

Имеется плоская неограниченная стенка толщиной δ. Задан коэффициент теплопроводности стенки λ, коэффициенты теплоотдачи α ₁ и α ₂ на поверхностях стенки, а также температуры теплоносителей t₁ и t₂. Для определенности примем, что t₁ > t₂. Введем тве неизвестные температуры поверхностей t^'₁ и t^" ₂. Тогда

Так как плотность теплового потока во всех трёх случаях есть величина постоянная, решая систему относительно ее величины получаем

Для многослойной стенки

Величину 1/α называют внешним тепловым сопротивлением.

Процесс переноса тепла от одной среды к другой через разделяющую их перегородку называется теплопередачей. Для его характеристики используют величину коэффициента теплопередачи

Величину обратную коэффициенту теплопередачи называют полным термическим сопротивлением:

Теплопроводность через цилиндрическую стенку

В технике, в том числе в металлургии часто приходится иметь дело с цилиндрическими стенками. В этом случае уравнение теплопроводности записывают в цилиндрической системе координат. Тогда одномерное уравнение нестационарной теплопроводности при постоянных теплофизических коэффициентах и при отсутствии внутренних источников тепла выглядит так.

Рассмотрим бесконечный (длина на много больше диаметра) полый цилиндр длиной l, внутренний и внешней радиус (диаметр) цилиндра равны соответственно r₁ и r₂ (d₁ и d₂).

Граничные условия первого рода запишем в виде

Решение относительно теплового потока через рассматриваемую поверхность

(2·π ·l·λ ·(t'_c-t" _c))/ln(r₂/r₁), Вт/м².

При расчетах тепловых потоков через цилиндрическую стенку неудобно пользоваться знакомой нам поверхностью плотностью теплового потока, так как каждый раз нужно указывать к какой поверхности она отнесена. Поэтому в качестве удельной величины принято использовать линейную плотность теплового потока, т.е. тепловой поток отнесенный к 1 м длины цилиндрической стенки или, как говорят, к 1 погонному м.

q_l= 2·π ·λ ·(t'_c-t" _c))/ln(r₂/r₁), Вт/м.

Для многослойной цилиндрической стенки

При граничных условиях 3-его рода заданы температуры сред снаружи и внутри цилиндра t₁ и t₂ , а также - коэффициенты теплоотдачи на внутренней и внешней поверхностях α ₁ и α ₂. Тогда линейна плотность теплового потока запишется

, Вт/м.

Для многослойной стенки из n слоев

, Вт/м.

Следует помнить, что для тонких цилиндрических стенок (d₂/d₁< 2) для расчет теплового потока можно использовать формулы для плоских стенок. Погрешность при этом не превышает 4%.