Введение. Физическим маятником называется любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси

Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции и центр тяжести совпадают.

Тело совершает колебания под действием вращающего момента , значение модуля которого:

M = F ₂ d, (1)

где d – кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести тела, то есть по длине равное OB, F ₂ – проекция силы тяжести на перпендикулярное ОВ направление в плоскости, перпендикулярной оси.

Из рис. 1 следует, что

F ₂ = mg× sin j.

Здесь j –угловое отклонение мятника, отсчитываемое от положения равновесия. Угловое отклонение j можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого определяется направлением поворота тела из положения равновесия в заданное положение по правилу правого винта. Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций M и j на ось вращения приписать противоположные знаки.

Тогда формула (1) примет вид

M = - mgd sin j. (1.а)

При малых углах j можно ограничиться первым членом разложения функции sin j в ряд:

sin j = j - + -

и принять sin j» j, если угол j выражен в радианах. Тогда формулу (1.а) можно записать следующим образом:

M = - mgd j. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

М = J b, (3)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения; b – угловое ускорение, причем b = = .

Подставляя в формулу (3) выражение М из формулы (2), получим:

J + mgd j = 0,

или

+ = 0. (4)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом, как известно, имеет решение

j(t) = j₀ cos (w_Ф t + a), (5)

содержащее две произвольные постоянные w_Ф и a, определяемые начальными условиями. Величины w_Ф и a называют соответственно амплитудой и начальной фазой колебаний. Заметим при этом, что циклическая частота физического маятника w_Ф, как и его период колебаний T _Ф, определяются динамическими свойствами системы и равны, соответственно,

w_Ф = и T _Ф = 2p , (6)

в чем можно убедиться, подставив решение j(t) в виде формулы (5) в уравнение (4).

Известно, что период колебаний математического маятника вычисляется по формуле

T _М =2p ,

откуда следует, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если его длина равна

l _П = . (7)

Это и есть формула приведённой длины физического маятника.