![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Контрольная работа № 2. Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.
Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2. При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить основные понятия и определения функции нескольких переменных. Научится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные интегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить решения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить основные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероятность случайного события, условную вероятность случайного события, независимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связанные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию. Задание № 1. Найти частные производные первого порядка. Пример. Вычислим частные производные первого порядка
При вычислении частной производной по переменной
Задание № 2. Вычислить двойной интеграл. Пример. Вычисляем двойной интеграл по прямоугольнику через один из повторных интегралов:
При интегрировании по
Вновь применяя формулу Ньютона –Лейбница уже к внешнему интегралу, получим
Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Пример 1. Преобразуем уравнение к виду
Сделав подстановку
Разделяя переменные, получим
Интегрируя, имеем:
Отсюда
Учитывая, что Пример 2. Это уравнение является уравнением Бернулли
Выберем функцию
Выбирая простейшие решение
откуда
Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения
Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Пример. Положим
Исходное уравнение примет вид
Разделяя переменные, найдем
Заменив
откуда
Разделив переменные, получим общее решение исходного уравнения в неявном виде:
Задание № 5. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Найдем решение
где По корням характеристического уравнения составим общее решение однородного уравнения
Найдем
Поэтому положим
Так как
подставим их в уравнение
После группировки по степеням
Два многочлена одинаковой степени равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при степенях Отсюда
Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, найдем первую производную:
Подставляя в начальные условия
Отсюда окончательно находим
Задание № 6. Исследовать сходимость числового ряда Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда Применим признак Даламбера: имеем
Поэтому по признаку Даламбера ряд Пример 2. Исследования сходимость числового ряда Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию
Так как на интервале
Данный интеграл сходится, так как
поэтому сходится и данный ряд. Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда Выпишем коэффициенты ряда:
Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:
Следовательно, ряд сходится для значений Если Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности. Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной задаче на каждую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению? Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно
Число билетов, которое знает студент равно
Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равновероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:
Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению? Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие
События находим вероятность сдачи зачета
Пример № 3. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток? Решение. Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 человек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:
Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15: и двух студенток из 10:
Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в составе которой две студентки и два студента равно
Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:
Пример № 4. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у автобуса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна Решение. Вероятность того, что у
Тогда искомая вероятность равна
Пример № 5. Вероятность изготовления на станке нестандартного изделия равна Решение. Пусть случайная величина
где
Подставляя значения, находим
Значение функции Лапласа Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина 1) найти плотность распределения вероятностей 2) схематично построить графики функций 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Пример. Решить задание № 9, если задана непрерывная случайная величина 1) Плотность распределения случайной величины равна первой производной от функции распределения. Проверим условие нормировки
Подставив сюда найденную плотность распределения, получим
2) Строим схематично графики функций Рисунок 1 - Графики функций распределения 3) Для нахождения математического ожидания используем формулу
Замечание. Для вычисления интегралов использовались формулы:
Задание № 10. Заданы математическое ожидание Пример. Заданы математическое ожидание 1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. 2. Найти вероятность того, что 3. Найти вероятность того, что 4. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью g=0, 95 будут заключены значения величины 1) Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами
Построим схематически график функции Рисунок 2 - График функции 2) Вероятность попадания нормальной величины
где
Тогда вероятность попадания в интервал
Значения функций найдены по таблице приложения 2 [7, стр. 462]. 3) Аналогично находим вероятность попадания в интервал
В нашем случае
По таблице [7, стр. 462] найдем аргумент t, при котором
Задание № 11. Заданы среднее квадратичное отклонение Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью Требуется найти доверительный интервал
По таблице значений функции Лапласа находим
|