Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Элементы линейной алгебры и геометрии выпуклых множеств
|
|
2.1. Система т линейных уравнений с п переменными
Система т линейных уравнений с п переменными имеет вид Яц*| + Щгхг+- • ■ +alJXj+...+аХпхп = Ьь
e2, x, +a21x2+...+a2jXj+...+a2„x„ =b2,
апх{ + ai2x2+...+aijXj+...+ainx„ = bt,
«mi*i + am2X2+...+amjXj+...+amnx„ = bm,
или в краткой записи
п
Y^ajjXj =bt (i = 1, 2,..., m).
7=1
В задачах линейного программирования представляют интерес системы, в которых ранг г матрицы системы А = {аф, /=1, 2,..., /и; J=l, 2,..., л, или, что то же самое, максимальное число независимых уравнений системы г меньше числа переменных, т.е. г < п. Будем полагать, что в системе (2.1) все т уравнений системы независимы, т.е. г=/»и соответственно т < п.
Любые т переменных системы т линейных уравнений с п переменными (т < п) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля1.
1 В литературе такой определитель часто называют базисным минором матрицы А.
Тогда остальные п—т переменных называются неосновными (или свободными).
Основными могут быть разные группы из п переменных. Максимально возможное число групп основных переменных равно числу способов выбора т переменных из их общего числа п, т.е. числу сочетаний С™. Но так как могут встретиться случаи, когда определитель матрицы коэффициентов при т переменных равен нулю, то общее число групп основных переменных не превосхо-
дит С„. > 2.1. Найти все возможные группы основных переменных в системе
.Xi — Х2 — LX'i + Х4 = VJ,
2хх + х2 + 2хг - х4 = 0.
Решение. Общее число групп основных переменных не более чем С\ =4-3/2 = 6, т.е. возможные группы основных переменных: Х\, Х2, Х\, Ху, Х\, Х4, Х2, Ху Х2, Х^\ X$, Х$.
Выясним, могут ли быть основными переменные х\, х2. Так
как определитель матрицы из коэффициентов при этих перемен
ных = Ы-2(-1) = 3 * 0, то х\, х2 могут быть основными
переменными. Рассуждая аналогично, найдем, что могут быть основными переменные х\, ху, х\, х$, но не могут быть основными х2, *з; х2> Х4', хз> *4> так как в трех последних группах переменных соответствующие определители равны нулю (например, для пере-
| менных Jt3, х» |
| = 0)> |
-2 1 2 -1 Для решения системы (2.1) при условии т < п докажем следующую теорему.
Теорема 2.1. Если для системы т линейных уравнений с п переменными (т < п) ранг матрицы коэффициентов при переменных равен т, т.е. существует хотя бы одна группа основных переменных, то эта система является неопределенной, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы.
tiAi/MMAX.-i^ НИ
Элементы линейной алгебры и геометрии
 | ||
 |
| (2Л) |