Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
А) правило отделения или правило модус поненс (МР);
|
|
б) правило подстановки (п/п).
4. Определение доказательства.
5. Определение теоремы или доказуемой формулы.
Определение аксиомы. «Аксиомами в S2 називают подмножество тавтологий, которые определяются как исходные при построении доказательства».
Заметим, что не следует понимать аксиомы S2 в традиционном смысле, как «очевидные истины, не требующие доказательства».
В логическом исчислении все формулы, в том числе и аксиомы, рассматриваются безотосительно к их возможным значениям «очевидно» или же «неочевидно». В нем значения формул учитываются опосредованным образом.
Определение. «Теоремами в S2 называют подмножество тавтологий, для которых существует доказательство».
Аксиомы и теоремы исчерпывают в S2 все множество тавтологий. С учетом данного обстоятельства, аксиоматические исчисления строят так, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий. Другими словами, S2 своими средствами обеспечивает возможность охарактеризовать все множество тавтологий. Именно данному содержательному требованию подчинен выбор аксиом и правил вывода в S2.
Набор аксиом в S2 может быть различным, но он должен быть достаточным для доказательства теорем в S2.
Возьмем в качестве примера набор аксиом, предложенный немецким математиком Давидом Гильбертом:
1. А É (В É А)1
2. (А É (В É С) É ((А É В) É (А É С))
3. (А & В) É А
4. (А & В) É В
5. А É (В É (А & В))
6. А É (А Ú В)
7. В É (А Ú В)
8. (А É С) É ((В É С) É ((АÚ В) É С))
9. (А É В) É ((А É Ø В) É Ø А)
10. (А É В) É (Ø В É Ø А)
Применяя к данному набору аксиом правила вывода, можно доказать любую теорему в S2.
Определим правила доказательства.
Определение правила отделения (МР): «Если А и А É В истинны, то В также истинно». Записывается данное правило в виде схемы:
А
А É В
В
Определение правила подстановки (п/п): «Пусть А - формула, содержащая пропозициональные переменные p1, p2,... pn. Тогда, если А – истинная формула в исчислении выранее доказанной формулой, сказываний, то заменяя в ней переменные p1, p2,... pn на всех местах их вхождения в формулу A произвольными формулами B1, B2,... Bn соответственно, получим формулу А¢, которая также будет истинной».
Данное правило имеет следующий вид:
А (x1, x2,... xn)
А¢ (B1, B2,... Bn)
Определение доказательства: «Доказательством формулы A называется конечная последовательность формул А1,... Аn такая, что в ней каждая из формул является либо аксиомой, либо ранее доказанной формулой, либо получена из каких-либо предыдущих формул последовательности по правилам доказательства, причем последняя формула последоватеьности является формулой A».
Определение доказуемой формулы: «Формула А называется доказуемой тогда, когда построено ее доказательство в соответствии с определением доказательства».
Факт, что формула доказуема, записывают так: |- А.
Если формула не доказуема, то: -| А.
Рассмотрим структуру доказательства на примере доказательства теоремы:
|- р É р.