Коллинеарность векторов

Задача 2

Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы и построенные по векторам и .

План решения.

Способ 1. Векторы коллинеарны если существует такое число такое, что . Т.е. векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны.

1. Находим координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если координаты векторов и пропорциональны, т.е.

,

то векторы и коллинеарны. Если равенства

.

не выполняются, то эти векторы не коллинеарны.

Способ 2. Векторы коллинеарны если их векторное произведение равно нулю, т.е. .

1. Находим координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если векторное произведение векторов и

,

то векторы коллинеарны. Если же векторное произведение не равно нулю, то векторы не коллинеарны.

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

Способ 1. Находим

Имеем

.

Т.е. векторы и не коллинеарны.

Способ 2. Находим

Имеем

Т.е. векторы и не коллинеарны.

Кривые второго порядка (1 часть)

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. 1) - уравнение эллипса. 2) - уравнение " мнимого” эллипса. 3) - уравнение гиперболы.   4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5) y2 = 2px – уравнение параболы. 6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых. 7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух " мнимых” параллельных прямых. 8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых. 9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности. Эллипс Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением Фокусы Определение. Фокусаминазываются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина. F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0) с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a2 = b2 + c2. Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем: a2 = b2 + c2 r1 + r2 = 2a. Эксцентриситет Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называетсяэксцентриситетом. е = с/a Т.к. с < a, то е < 1.