![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня
Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны
Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба Рис.2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе
Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:
Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.2) мал по сравнению с длиной (f / l < < 1), а первая производная от прогиба имеет порядок и, следовательно, величиной (dv / dz)2< < 1, стоящей в знаменателе (2), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается
Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна —
известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой. Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (2), то точное уравнение упругой кривой является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой. Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение
которое с учетом
Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий. Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента Мх(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки
Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент Мx появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка
В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как а с учетом дифференциального соотношения Qy=dMx/dz, получаем
Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра Мx, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2 n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n —1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования. Рис.4. Расчетная схема балки, содержащая n углов
Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-4, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ. Лекция № 22. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог. Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями
Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента
Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:
Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния
Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг
Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений
а) ортогональность
Здесь
Подставляя (1) в (2) и учитывая, что где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d
Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения
а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения
Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения. Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz найдем полный угол закручивания стержня длиной l
В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем когда эти величины кусочно-постоянны, то:
Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня. Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления
Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид
где Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d где Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы. Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения РАСЧЕТ ВАЛОВ Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала. Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость Отсюда
где учтено, что Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz. Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства
откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения
Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала
Тогда, учитывая, что
Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения. Лекция № 23. Практические примеры расчета на сдвиг. Заклепочные соединения.
|