![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лабораторная работа №1. Изучение программных продуктов для численного моделирования САУ
Изучение программных продуктов для численного моделирования САУ. Исследование временных и частотных характеристик типовых динамических звеньев Цель работы: Изучение временных и частотных характеристик динамических звеньев.
Теоретическая часть Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным дифференциальным уравнением вида:
где u (t) – входной процесс; y (t) – выходной процесс; ai, bj, – постоянные коэффициенты; n, m (n > = m) – постоянные числа. Если ввести обозначение p для оператора дифференцирования
Откуда получается: где A(p) и B(p) – полиномы из формулы (2). Выражение (2) по виду совпадает с определением передаточной функции (ПФ) как отношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преобразованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных условиях:
где s – комплексная переменная. Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена B (s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A (s) – полюсами. Временные характеристики динамического звена представляютсобой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. Обычно выполняется анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и импульсную функцию (функция Дирака или δ)функция).Единичный скачок 1(t) определяется условиями: Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы и обозначается h (t). При неединичном ступенчатом воздействии g (t) =N 1(t), где N = const, в соответствии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет: y (t) = Nh (t). Импульсная функция δ (t) определяется условиями: Очевидно: δ (t) =1′ (t). Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w (t). Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением: В пакете MatLab имеется два основных варианта для исследования передаточных функций и моделирования САУ: – использование команд пакета расширения ControlSystemToolbox; – использование пакета Simulink. ControlSystemToolbox предназначен для работы с LTI-моделями (LinearTimeInvariantModels – линейные модели с постоянными параметрами) систем управления. Команда, создающая LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции, имеет следующий синтаксис: где bm,, b 1, b 0 и an, …, a 1, a 0 – значения коэффициентов полиномов В и A в (3). Для построения переходного процесса используют команду step(система) или step(система1, система2,, система n) Для построения импульсной характеристики команду impulse(система) или impulse(система1, система2,, система n) Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (синусоидальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция системы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свойствах.Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту ω, т. е.описывается формулой: Выходной сигнал будет иметь амплитуду А 1 и отличаться от входного по фазе на величину (фазовый сдвиг): Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои A и ψ. Изменяя ω в широком диапазоне, можно получить зависимость A (ω) – амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ (ω) – фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Главное достоинство метода частотных характеристик заключается в том, что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспериментально. Для этого необходимо иметь генератор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измерительную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колебаний на выходе объекта. Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ W (s). Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида Тогда выходной сигнал И частотная ПФ Формально для получения частотной ПФ (амплитудно-фазовая частотная характеристика – АФЧХ) надо сделать в W (s) подстановку s = j ω, и тогда полученная W (j ω) является комплексным выражением, которое можно представить в виде: Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделение:
где Графики функций U (ω) и V (ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками. В практических расчетах удобно применять графики частотныххарактеристик, построенных в логарифмическом масштабе – логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется следующим выражением: Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется график зависимости ψ (ω), построенный в логарифмическом масштабе частот. Единицей L (ω) является децибел (дБ), а единицей логарифма частоты – декада. Декадой называют интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку ω = 0. Частоте ω = 0 соответствует бесконечно удаленная точка: lgω → –∞ при ω → 0. Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том, что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических звеньев изображаются отрезками прямых. В Matlabкривую АФЧХ можно построить используя команду Nyquist(система) или Nyquist (система1, система2,, система n) Кривые ЛАЧХ и ЛФЧХ: bode(w)(система) или bode (система1, система2,, система n) По виду дифференциального уравнения описывающего линейную систему выделены типовые динамические звенья – табл.1. Каждое типовое звено характеризуется показателями динамики: K – коэффициент усиления (влияет на величину выходного сигнала), Т – постоянная времени (влияет на длительность переходного процесса. Типовые звенья разделяют на идеальные без постоянной времени и реальные. Звенья второго порядка могут задаваться двумя постоянными времени, в зависимости от того, как они соотносятся друг с другом, звенья разделяют на консервативное, колебательное и апериодическое.
Таблица 1. Типовые динамические звенья
Задание Для каждого из типовых динамических звеньев получить 2-3 передаточные функции с разными показателями динамики и построить переходные характеристики, импульсные характеристики, амплитудно-фазовые частотные характеристики и логарифмические частотные характеристики с помощью пакета MATLAB. Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Цель работы 2. Порядок выполнения работы – с графиками экспериментально полученных характеристик при вариациипараметров каждого звена 3. Выводы Пример выполнения задания Пример. Рассмотрим в качестве примера колебательное звено 2-го порядка. Его передаточная функция имеет вид
Зададимся для w1: К =2, Т1 =0, 1, Т2 =0, 3 Зададимся для w2: К =2, Т1 =0, 2, Т2 =0, 5 Зададимся для w3: К =2, Т1 =0, 05, Т2 =0, 5 Тогда получим: Зададим команды > > w1=tf([2], [0, 09 0, 1 1]); > > w2=tf([2], [0, 25 0, 2 1]); > > w2=tf([2], [0, 25 0, 05 1]); > > step(w1, w2, w3). В результате на экран будет выведено окно с графиками, которое можно через буфер обмена в отчет, также можно перенести в отчет команды. Для построения графиков импульсных и частотных характеристик нужно зададим команды > > impulse(w1, w2, w3) > > Nyquist(w1, w2, w3) > > bode(w1, w2, w3) На рис. 1 и рис. 2 представлены переходные характеристики ЛЧХ исследуемого звена. Рис.1. Исследование реакции колебательного звена Рис.2. Частотные характеристики динамических звеньев Контрольные вопросы 1. Назовите основные типы динамических звеньев 2. Какие типовые звенья относятся к идеальным 3. Какие типовые звенья являются реальными 4. Как коэффициент пропорциональности влияет на динамические и частотные характеристики 5. Как постоянная времени влияет на динамические и частотные характеристики
|