дифференцирование сложной функции нескольких переменных

Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z=ƒ (х; у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t); y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если z = ƒ (х; у) — дифференцируемая в точке М(х; у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение Δ t. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δ х и Δ у соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z — ƒ (х; у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где а→ 0, β → 0 при Δ х→ 0, Δ у→ 0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δ z на Δ t и перейдем к пределу при Δ t→ 0. Тогда Δ х→ 0 и Δ у→ 0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т. е.

или

Частный случай: z=ƒ (х; у), где у=у(х), т. е. z=ƒ (х; у(х)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ (х; у), где x=x(u; v), у=у(u; v). Тогда z= f(x(u; v); y(u; v)) — сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).