Важнейшие географические открытия, плавания и исследования в Антарктике (в 18-20 ВВ. ). 13 страница

Лит.: М a t z Fr., Geschicnte der griechischen Kunst, Bd 1. Die geometrische und die fruharchaische Form. Textband, Fr./M., [1950].

Геометрический стиль. 1. Кратер с о. Кипр. 2-я четв. 8 в. до н. э. Метрополитен-музей. Нью-Йорк. 2. Скифос из Камироса (о. Родос). Ок. 700 до н. э. Британский музей. Лондон. 3. Щит из Черветери (Италия). Бронза. 7 в. до н. э. Ватиканские музеи.

Воин, Бронзовая статуэтка. 2-я пол. 8 в. до н. э. Национальный археологический музей. Афины.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ, число a*, равное корню п-й степени из произведения п данных положительных чисел(a₁, а₂,..., а_n):

[ris]

Г. с. двух чисел а и b, равное у ab, наз. также средним пропорциональным между а и b.

ГЕОМЕТРИЯ (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина Г.*, что буквально означает землемерие, можно объяснить следующими словами, приписываемыми др.-греч. учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы. Уже у древних греков Г. означала матем. науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегип. сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строит, работах и т. п.

Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении между, внутри и т. п. Вторые выражаются в понятиях больше, меньше, в понятии о равенстве тел.

Путём такого же отвлечения возникает понятие геом. тела. Геом. тело есть абстракция, в к-рой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г., как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, напр., в определениях, данных Евклидом: линия есть длина без ширины, поверхность есть то, что имеет длину и ширину. Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геом. фигуре, под к-рой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.

Г. в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении п размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением Г. как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в Г., и есть пространственная форма; поэтому в Г. говорят, напр., шар, а не тело шарообразной формы; расположение и размеры определяются пространств, отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в Г., также есть нек-рое отношение между двумя фигурами - данной и той, в к-рую она преобразуется.

В современном, более общем смысле, Г. объемлет разнообразные матем. теории, принадлежность к-рых к Г. определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе Г. в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Г. в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными. См. разделы Обобщение предмета геометрии и Современная геометрия.

Развитие геометрии. В развитии Г. можно указать четыре основных периода, переходы между к-рыми обозначали качественное изменение Г.

Первый - период зарождения Г. как матем. науки - протекал в Др. Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геом. сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геом. величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Др. Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое. Геом. сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению нек-рых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирич. происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Г., по свидетельству греч. историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геом. знаний, выяснения связей между разными геом. фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геом. предложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл, наконец, к качеств, скачку. Г. превратилась в самостоятельную матем. науку; появились систематич. её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематич. изложения Г., среди к-рых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же п сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся ок. 300 до н. э. Начала Евклида. З.чесь Г. представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией: это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логич. последовательности, исходя из явно формулированных осн. положений - аксиом и осн. пространственных представлений. Г., развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащённую как в предмете, так и в методах исследования, наз. евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, Зв. до н. э.), учение о копич. сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. дон. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок антич. общества привёл к сравнительному застою в развитии Г., однако она продолжала развиваться в Индии, в Ср. Азии, в странах араб. Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом, к-рый ввёл в Г. метод координат. Метод координат позволил связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую Г., а потом и дифференциальную. Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебр, уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию дифференциальная Г. придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её назв. связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й пол. 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, к-рые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончат, оформление и систематич. изложение этих новых направлений Г. были даны в 18 - нач. 19 вв. Эйлером для анали-тич. Г. (1748), Монжем для дифференциальной Г. (179л). Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём само учение о геом. изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвёртый период в развитии Г. открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой Г., называемой теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Г. построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной. Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые. Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Г. приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову Г. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую Г., логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Г. как возможную теорию пространств, отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование (см. раздел Истолкования геометрии).

Переворот в Г., произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван Коперником геометрии. В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Г. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Г., но и другие геометрии. Второй принцип - это принцип самого построения новых геом. теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой Г. Третий принцип состоит в том, что истинность геом. теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физич. исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой Г. Совр. физика подтвердила это. Однако от этого не теряется матем. точность евклидовой Г., т. к. она определяется логич. состоятельностью (непротиворечивостью) этой Г. Точно так же в отношении любой геом. теории нужно различать их физ. и матем. истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логич. непротиворечивости. Лобачевский дал, т.о., материалистич. установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в Г., но и в математике вообще, в развитии её аксиоматич. метода, в понимании её отношения к действительности.

Главная особенность нового периода в истории Г., начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геом. теорий - новых геометрий и в соответствующем обобщении предмета Г.; возникает понятие о разного рода пространствах (термин пространство имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой - абстрактное математическое пространство). При этом одни теории складывались внутри евклидовой Г. в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная Г. и др., предметом к-рых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова Г. стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Г. Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Г. Так, создавалась, напр., многомерная Г.; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной анали-тич. Г. с трёх координат на п. Нек-рый итог развития всех этих новых геометрий подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854, опубл. 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Г., т. н. риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.

В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, к-рые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и к-рые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.

Так Г. превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность матем. теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах.

Одновременно с развитием новых геом. теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой Г.- элементарной, аналитической и дифференциальной Г. Вместе с тем в евклидовой Г. появились новые направления. Предмет Г. расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и Г. возникла в 70-х гг. 19 в. общая теория точечных множеств, к-рая, однако, уже не причисляется к Г., а составляет особую дисциплину (см. Множеств теория). Фигура стала определяться в Г. как множество точек. Развитие Г. было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, к-рые лежат в основе евклидовой Г. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой Г. Эта работа привела в кон. 19 в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой Г., а также других геометрий.

Обобщение предмета геометрии. Возможность обобщения и видоизменения геом. понятий легче всего уяснить на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями - дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить различные фигуры. Их изучение составляет предмет Г. на сфере, подобно тому, как планиметрия есть Г. на плоскости; Г. на земной поверхности близка к Г. на сфере. Законы Г. на сфере отличны от законов планиметрии; так, напр., длина окружности здесь не пропорциональна радиусу, а растёт медленнее и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере непостоянна и всегда больше двух прямых. Аналогично можно на любой поверхности проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Развиваемая так Г. на поверхности называется её внутренней Г. (К. Гаусс, 1827). На неравномерно изогнутой поверхности соотношения длин и углов будут различными в разных местах, следовательно, она будет геометрически неоднородной, в отличие от плоскости и сферы. Возможность получения разных геом. соотношений наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближённо описываться обычной Г. Эта идея, впервые высказанная Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности. Более широкая возможность обобщения понятий Г. выясняется из следующего рассуждения. Обычное реальное пространство понимают в Г. как непрерывную совокупность точек, т. е. всех возможных предельно точно определённых местоположений предельно малого тела. Аналогично непрерывную совокупность возможных состояний к.-л. материальной системы, непрерывную совокупность к.-л. однородных явлений можно трактовать как своего рода пространство. Вот один из примеров. Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение трёхцветно, т. е. всякое цветовое ощущение Ц есть комбинация - сумма трёх основных ощущений: красного К, зелёного 3 и синего С, с определёнными интенсивностями. Обозначая эти интенсивности в нек-рых единицах через х, у, z, можно написать Ц = х К + y З+ zC. Подобно тому, как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, вправо и влево, вперёд и назад, так и ощущение цвета Ц может непрерывно меняться в трёх направлениях с изменением составляющих его частей - красного, зелёного и синего. По аналогии можно сказать, что совокупность всех цветов есть трёхмерное пространство - пространство цветов. Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в этом пространстве. Далее, если даны два цвета, напр, красный К и белый Б, то, смешивая их в разных пропорциях, получают непрерывную последовательность цветов, которую можно назвать прямолинейным отрезком КБ. Представление о том, что розовый цвет Р лежит между красным и белым и что более густой розовый лежит ближе к красному, не требует разъяснения. Т. о., возникают понятия о простейших пространственных формах (линия, отрезок) и отношениях (между, ближе) в пространстве цветов. Далее, можно ввести точное определение расстояния (напр., по числу порогов различения, к-рое можно проложить между двумя цветами), определить поверхности и области цветов, подобно обычным поверхностям и геом. телам, и т. д. Так возникает учение о пространстве цветов, к-рое путём обобщения геом. понятий отражает реальные свойства цветного зрения человека (см. Колориметрия).

Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и темп-рой. Совокупность всех возможных состояний газа можно представлять поэтому как двумерное пространство. Точками этого пространства служат состояния газа; точки различаются двумя координатами - давлением и темп-рой, подобно тому как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.

Далее, можно представить себе любую материальную систему - механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют фазовым пространством. Точками этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется п величинами, то говорят, что система имеет п степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки-состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и темп-ра. В соответствии с этим такое фазовое пространство системы наз. к-мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве; отд. области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей будут поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то её состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и темп-рой Т изобразится точкой с координатами р и Т, апроцессы, происходящие с газом, изобразятся линиями на плоскости. Этот метод графич. изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Но если число степеней свободы больше 3, то простое графическое изображение (даже в пространстве) становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геом. аналогии, прибегают к представлению об абстрактном фазовом пространстве. Так, наглядные графич. методы перерастают в это абстрактное представление. Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретич. физике и физ. химии. В механике движение механич. системы изображают движением точки в её фазовом пространстве. В физ. химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из неск. веществ, к-рые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому (плавление, кристаллизация и т. п.). В самой Г. также рассматривают абстрактные пространства, точками к-рых служат фигуры; так определяют пространства кругов, сфер, прямых и т. п. В механике и теории относительности вводят также абстрактное четырёхмерное пространство, присоединяя к трём пространственным координатам время в качестве четвёртой координаты. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.

Т. о., становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщённое понятие пространства. В таком пространстве можно проводить линии, изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить поверхности и определять подходящим образом расстояния между точками, давая тем самым количеств, выражение физ. понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний), и т. п. Так по аналогии с обычной Г. возникает геометрия абстрактного пространства; последнее может даже мало походить на обычное пространство, будучи, напр., неоднородным по своим геом. свойствам и конечным, подобно неравномерно искривлённой замкнутой поверхности.

Предметом Г. в обобщённом смысле оказываются не только пространств, формы и отношения, но любые формы и отношения, к-рые, будучи взяты в отвлечении от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространств, формами и отношениями. Эти пространственно-подобные формы действительности называют пространствами и фигурами. Пространство в этом смысле есть непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, к-рые играют роль точек пространства, причём в этой совокупности имеются отношения, сходные с обычными пространств, отношениями, как, напр., расстояние между точками, равенство фигур и т. п. (фигура - вообще часть пространства). Г. рассматривает эти формы действительности в отвлечении от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а Г. служит для них методом. Примером может служить любое приложение абстрактной Г., хотя бы указанное выше применение n-мерного пространства в физ. химии. Для Г. характерен такой подход к объекту, к-рый состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геом. понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведённых выше примерах пространства цветов и др. Этот геом. подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.

Не следует, однако, представлять развитие Г. так, что она лишь регистрирует и описывает на геом. языке уже встретившиеся на практике формы и отношения, подобные пространственным. В действительности Г. определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщения данных наглядной Г. и уже сложившихся геом. теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, стало быть, не являются чисто умозрительными конструкциями, а должны служить, в конечном счёте, средством исследования и описания реальных фактов. Лобачевский, создавая свою Г., считал её возможной теорией пространств, отношений. И так же как его Г. получила обоснование в смысле её логич. состоятельности и применимости к явлениям природы, так и всякая абстрактная геом. теория проходит такую же двойную проверку. Для проверки логич. состоятельности существенное значение имеет метод построения матем. моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, к-рьге оправданы и построением искусств, модели, и применениями, если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в др. матем. теориях, через к-рые эти понятия так или иначе связываются с действительностью. Лёгкость, с к-рой математики и физики оперируют теперь разными пространствами, достигнута в результате долгого развития Г. в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и приобрела большое значение вторая сторона Г., указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в Г. исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.

В качестве примера абстрактной геом. теории можно рассмотреть Г. к-мерного евклидова пространства. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной Г., причём для этого имеется неск. возможностей: можно, напр., обобщать аксиомы обычной Г., но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе n-мерное пространство определяют как множество к.-л. элементов-точек, задаваемых (каждая) п числами x₁, x₂,..., х_n, расположенными в определённом порядке, - координатами точек. Далее, расстояние между точками X = (х₁, х₂,..., х_n) и Х'= (х'₁, х'₂,..., х'_n) определяется формулой:

что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, к-рое не изменяет расстояний между её точками. Тогда предмет и-мерной Г. определяется как исследование тех свойств фигур, к-рые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений от двух до п - 1, о шаре и т. д. Т. о. складывается богатая содержанием теория, во многом аналогичная обычной евклидовой Г., но во многом и отличная от неё. Нередко бывает, что результаты, полученные для трёхмерного пространства, легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого числа, измерений. Напр., теорема о том, что среди всех тел одинакового объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно так же в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n-мерный объём, (п- 1)-мерную площадь и n-мерный шар, к-рые определяются вполне аналогично соответствующим понятиям обычной Г.]. Далее, в n-мерном пространстве объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды - такому произведению, делённому на п. Такие примеры можно продолжить. С др. стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно новые факты.

Истолкования геометрии. Одна и та же геом. теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели, или интерпретации). Всякое приложение теории и есть не что иное, как осуществление нек-рых её выводов в соответствующей области явлений.

Возможность разных осуществлений является общим свойством всякой матем. теории. Так, арифметич. соотношения реализуются на самых различных наборах предметов; одно и то же ур-ние описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие приложений математики и, в частности, Г. обеспечивается именно её абстрактным характером. Считают, что нек-рая система объектов (область явлений) даёт осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если теория строится на основе нек-рой системы аксиом, то истолкование этой теории состоит в таком сопоставлении её понятий с нек-рыми объектами и их отношениями, при к-ром аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.

Евклидова Г. возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация, в к-рой прямыми считаются натянутые нити, движением - механич. перемещение и т. д., предшествует Г. как матем. теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову Г. как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена в 1868 Э. Белътрами, к-рый заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутр. Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геом. факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезич. линии, а роль движений - изгибания поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой Г., оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, т. к. противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.

Т. о., выясняется двоякое значение истолкования геом. теории - физическое и математическое. Если речь идёт об истолковании на конкретных объектах, то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геом. поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой матем. теорией, в данном случае с евклидовой Г., а через неё с суммированными в ней опытными данными. Такое истолкование одной матем. теории посредством другой стало матем. методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в к-рой она интерпретируется. Но теория, посредством к-рой производится истолкование, в свою очередь, нуждается в обосновании. Поэтому указанный матем. метод не снимает того, что окончательным критерием истины для матем. теорий остаётся практика. В наст, время геом. теории чаще всего истолковываю аналитически; напр., точки на плоскости Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у, прямые-определять ур-ния-ми и т. п. Этот приём даёт обоснование теории потому, что сам матем. анализ обоснован, в конечном счёте, огромной практикой его применения.