III. Теоретические исследования переменных звёзд 8 страница

Одна из гл. причин невозможности объяснения физ. смысла периодич. закона и П. с. э. состояла в отсутствии теории строения атома (см. Атом, Атомная физика). Поэтому важнейшей вехой на пути развития П. с. э. явилась планетарная модель атома, предложенная Э. Резерфордом (1911). На её основе голландский учёный А. ван ден Брук высказал предположение (1913), что порядковый номер элемента в П. с. э. (атомный номер Z) численно равен заряду ядра атома (в единицах элементарного заряда). Это было экспериментально подтверждено Г. Мозли (1913-14, см. Мозли закон). Так удалось установить, что периодичность изменения свойств элементов зависит от атомного номера, а не от атомного веса. В результате на науч. основе была определена нижняя граница П. с. э. (водород как элемент с минимальным Z = 1); точно оценено число элементов между водородом и ураном; установлено, что " пробелы" в П. с. э. соответствуют неизвестным элементам с Z = 43, 61, 72, 75, 85, 87.

Оставался, однако, неясным вопрос о точном числе редкоземельных элементов, и (что особенно важно) не были вскрыты причины периодического изменения свойств элементов в зависимости от Z. Эти причины были найдены в ходе дальнейшей разработки теории П. с. э. на основе квантовых представлений о строении атома (см. далее). Физич. обоснование периодич. закона и открытие явления изотопии позволили научно определить понятие " атомная масса" (" атомный вес"). Прилагаемая периодическая система (см. вклейку к стр. 416) содержит современные значения атомных масс элементов по углеродной шкале в соответствии с Международной таблицей 1973. В квадратных скобках приведены массовые числа наиболее долгоживущих изотопов радиоактивных элементов. Вместо массовых чисел наиболее устойчивых изотопов ⁹⁹Тс, ²²⁶Ra, ²³¹Ра и ²³⁷Np указаны атомные массы этих изотопов, принятые (1969) Международной комиссией по атомным весам.

Рис. 2. " Естественная система элементов" Д. И. Менделеева (короткая форма), опубликованная во 2-й части 1-го издания " Основ химии" в 1871.

Структура П. с. э. Современная (1975) П. с. э. охватывает 106 хим. элементов; из них все трансурановые (Z = 93-106), а также элементы с Z = 43 (Тс), 61 (Рm), 85 (At) и 87 (Fr) получены искусственно. За всю историю П. с. э. было предложено большое количество (неск. сотен) вариантов её графич. изображения, преим. в виде таблиц; известны изображения и в виде различных геометрич. фигур (пространств. и плоскостных), аналитич. кривых (напр., спирали) и т. д. Наибольшее распространение получили три формы П. с. э.: короткая, предложенная Менделеевым (рис. 2) и получившая всеобщее признание (в совр. виде она дана на цветной вклейке); длинная (рис. 3); лестничная (рис. 4). Длинную форму также разрабатывал Менделеев, а в усовершенствованном виде она была предложена в 1905 А. Вернером. Лестничная форма предложена англ. учёным Т. Бейли (1882), дат. учёным Ю. Томсеном (1895) и усовершенствована Н. Бором (1921). Каждая из трёх форм имеет достоинства и недостатки.

Фундаментальным принципом построения П. с. э. является разделение всех хим. элементов на группы и периоды. Каждая группа в свою очередь подразделяется на главную (а) и побочную (б) подгруппы. В каждой подгруппе содержатся элементы, обладающие сходными хим. свойствами. Элементы а- и б-подгрупп в каждой группе, как правило, обнаруживают между собой определённое хим. сходство, гл. обр. в высших степенях окисления, к-рые, как правило, соответствуют номеру группы. Периодом наз. совокупность элементов, начинающаяся щелочным металлом и заканчивающаяся инертным газом (особый случай - первый период); каждый период содержит строго определённое число элементов.

Рис. 3. Длинная форма периодической системы элементов (современный вариант).

Рис. 4. Лестничная форма периодической системы элементов (по Н. Бору, 1921).

П. с. э. состоит из 8 групп и 7 периодов (седьмой пока не завершён). Специфика первого периода в том, что он содержит всего 2 элемента: n и Не. Место n в системе неоднозначно: поскольку он проявляет свойства, общие со щелочными металлами и с галогенами, его помещают либо в Ia-, либо (предпочтительнее) в Vila-подгруппу. Гелий - первый представитель Villa -подгруппы (однако долгое время Не и все инертные газы объединяли в самостоят. нулевую группу).

Второй период (Li - Ne) содержит 8 элементов. Он начинается щелочным металлом Li, единств. степень окисления к-рого равна I. Затем идёт Be - металл, степень окисления II. Металлич. характер следующего элемента В выражен слабо (степень окисления III). Идущий за ним С - типичный неметалл, может быть как положительно, так и отрицательно четырёхвалентным. Последующие N, О, F и Ne - неметаллы, причём только у N высшая степень окисления V соответствует номеру группы; кислород лишь в редких случаях проявляет положит. валентность, а для F известна степень окисления VI. Завершает период инертный газ Ne.

Третий период (Na-Аr) также содержит 8 элементов, характер изменения свойств к-рых во многом аналогичен наблюдающемуся во втором периоде. Однако Mg, в отличие от Be, более металличен, равно как и Аl по сравнению с В, хотя Аl присуща амфотерностъ. Si, p, S, Cl, Аr - типичные неметаллы, но все они (кроме Аr) проявляют высшие степени окисления, равные номеру группы. Т. о., в обоих периодах по мере увеличения Z наблюдается ослабление металлич. и усиление неметаллич. характера элементов. Менделеев называл элементы второго и третьего периодов (малых, по его терминологии) типическими. Существенно, что они принадлежат к числу наиболее распространённых в природе, а С, N и О являются наряду с n основными элементами органич. материи (органогенами). Все элементы первых трёх периодов входят в подгруппы а.

По совр. терминологии (см. далее), элементы этих периодов относятся к s-элементам (щелочные и щёлочноземельные металлы), составляющим Ia- и Па-подгруппы (выделены на цветной таблице красным цветом), и р-элементам (В-Ne, al-Аr), входящим в IIIa- VIIIa- подгруппы (их символы выделены оранжевым цветом). Для элементов малых периодов с возрастанием порядковых номеров сначала наблюдается уменьшение атомных радиусов, а затем, когда число электронов в наружной оболочке атома уже значительно возрастает, их взаимное отталкивание приводит к увеличению атомных радиусов. Очередной максимум достигается в начале следующего периода на щелочном элементе. Примерно такая же закономерность характерна для ионных радиусов.

Четвёртый период (К-Кr) содержит 18 элементов (первый большой период, по Менделееву). После щелочного металла К и щёлочноземельного Са (s-элементы) следует ряд из десяти т. н. переходных элементов (Sc-Zn), или d-элементов (символы даны синим цветом), к-рые входят в подгруппы б соответствующих групп П. с. э. Большинство переходных элементов (все они металлы) проявляет высшие степени окисления, равные номеру группы. Исключение - триада Fe-Со-Ni, где два последних элемента максимально положительно трёхвалентны, а железо в определённых условиях известно в степени окисления VI. Элементы, начиная с Ga и кончая Кr (р-элементы), принадлежат к подгруппам а, и характер изменения их свойств такой же, как и в соответствующих интервалах Z у элементов второго и третьего периодов. Установлено, что Кr способен образовывать хим. соединения (гл. обр. с F), но степень окисления VIII для него неизвестна.

Пятый период (Rb-Хе) построен аналогично четвёртому; в нём также имеется вставка из 10 переходных элементов (Y-Cd ), d-элементов. Специфич. особенности периода: 1) в триаде Ru-Rh-Pd только рутений проявляет степень окисления VIII; 2) все элементы подгрупп a проявляют высшие степени окисления, равные номеру группы, включая и Хе; 3) у I отмечаются слабые металлич. свойства. Т. о., характер изменения свойств по мере увеличения Zу элементов четвёртого и пятого периодов более сложен, поскольку металлич. свойства сохраняются в большом интервале порядковых номеров.

Шестой период (Cs-Rn) включает 32 элемента. В нём помимо 10 d-элементов (La, Hf-Hg) содержится совокупность из 14 f-элементов, лантаноидов, от Се до Lu (символы чёрного цвета). Элементы от La до Lu химически весьма сходны. В короткой форме П. с. э. лантаноиды включаются в клетку La (поскольку их преобладающая степень окисления III) и записываются отд. строкой внизу таблицы. Этот приём несколько неудобен, поскольку 14 элементов оказываются как бы вне таблицы. Подобного недостатка лишены длинная и лестничная формы П. с. э., хорошо отражающие специфику лантаноидов на фоне целостной структуры П. с. э. Особенности периода: 1) в триаде Os-Ir-Pt только осмий проявляет степень окисления VIII; 2) At имеет более выраженный (по сравнению с I) металлич. характер; 3) Rn, по-видимому (его химия мало изучена), должен быть наиболее реакционноспособным из инертных газов.

Седьмой период, начинающийся с Fr (Z = 87), также должен содержать 32 элемента, из к-рых пока известно 20 (до элемента с Z = 106). Fr и Ra - элементы соответственно Ia- и IIа-подгрупп (s-элементы), Ас - аналог элементов IIIб-подгруппы (d-элемент). Следующие 14 элементов, f-элементы (с Zот 90 до 103), составляют семейство актиноидов. В короткой форме П. с. э. они занимают клетку Ас и записываются отд. строкой внизу таблицы, подобно лантаноидам, в отличие от к-рых характеризуются значит. разнообразием степеней окисления. В связи с этим в хим. отношении ряды лантаноидов и актиноидов обнаруживают заметные различия. Изучение хим. природы элементов с Z = 104 и Z = 105 показало, что эти элементы являются аналогами гафния и тантала соответственно, т. е. d-элементами, и должны размещаться в IV 6- и V б-подгруппах. Членами (5-подгрупп должны быть и последующие элементы до Z =112, а далее (Z = 113-118) появятся р-элементы (IIIa - Villa-подгруппы).

Теория П. с. э. В основе теории П. с. э. лежит представление о специфич. закономерностях построения электронных оболочек (слоев, уровней) и подоболочек (оболочек, подуровней) в атомах по мере роста Z (см. Атом, Атомная физика). Это представление было развито Бором в 1913-21 с учётом характера изменения свойств хим. элементов в П. с. э. и результатов изучения их атомных спектров. Бор выявил три существ. особенности формирования электронных конфигураций атомов: 1) заполнение электронных оболочек (кроме оболочек, отвечающих значениям главного квантового числа n = 1 и 2) происходит не монотонно до полной их ёмкости, а прерывается появлением совокупностей электронов, относящихся к оболочкам с большими значениями п; 2) сходные типы электронных конфигураций атомов периодически повторяются; 3) границы периодов П. с. э. (за исключением первого и второго) не совпадают с границами последовательных электронных оболочек.

В обозначениях, принятых в атомной физике, реальная схема формирования электронных конфигураций атомов по мере роста Z может быть в общем виде записана след. образом:
[ris]

Вертикальными чертами разделены периоды П. с. э. (их номера обозначены цифрами наверху); жирным шрифтом выделены подоболочки, к-рыми завершается построение оболочек с данным п. Под обозначениями подоболочек проставлены значения главного (п) и орбитального (/) квантовых чисел, характеризующие последовательно заполняющиеся подоболочки. В соответствии с Паули принципом ёмкость каждой электронной оболочки равна 2n², а ёмкость каждой подоболочки - 2(2l + 1). Из вышеприведённой схемы легко определяются ёмкости по-следоват. периодов: 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32... Каждый период начинается элементом, в атоме которого появляется электрон с новым значением п. Т. о., периоды можно характеризовать как совокупности элементов, начинающиеся элементом со значением п, равным номеру периода, и l = 0 (ns¹-элементы), и завершающиеся элементом с тем же n и l = 1(nр⁶-элементы); исключение - первый период, содержащий только 1s-элементы. При этом к а-подгруппам принадлежат элементы, для атомов к-рых nравно номеру периода, a l = = 0 или 1, т. е. происходит построение электронной оболочки с данным п. К б-подгруппам принадлежат элементы, в атомах к-рых происходит достройка оболочек, остававшихся незавершёнными (в данном случае nменьше номера периода, а l = 2 или 3). Первый - третий периоды П. с. э. содержат только элементы a-подгрупп.

Приведённая реальная схема формирования электронных конфигураций атомов не является безупречной, поскольку в ряде случаев чёткие границы между последовательно заполняющимися подоболочками нарушаются (напр., после заполнения в атомах Cs и Ва 6s-подоболочки в атоме лантана появляется не 4f-, а 5d-электрон, имеется 5d-электрон в атоме Gd и т. д.). Кроме того, первоначально реальная схема не могла быть выведена из к.-л. фундаментальных физ. представлений; такой вывод стал возможным благодаря применению квантовой механики к проблеме строения атома.

Типы конфигураций внеш. электронных оболочек атомов (на цветной вклейке конфигурации указаны) определяют осн. особенности хим. поведения элементов. Эти особенности являются специфическими для элементов a-подгрупп (s- и р-элементы), (б-подгрупп (d-элементы) и f-семейств (лантаноиды и актиноиды). Особый случай представляют собой элементы первого периода (Н и Не). Высокая хим. активность атомарного водорода объясняется лёгкостью отщепления единственного 1s-электрона, тогда как конфигурация атома гелия (1s ²) является весьма прочной, что обусловливает его хим. инертность.

Поскольку у элементов я-подгрупп происходит заполнение внеш. электронных оболочек (с n, равным номеру периода), то свойства элементов заметно меняются по мере роста Z. Так, во втором периоде Li (конфигурация 2s¹) - химически активный металл, легко теряющий валентный электрон, a Be (2s²) - также металл, но менее активный. Металлич. характер следующего элемента В (2s²p) выражен слабо, а все последующие элементы второго периода, у к-рых происходит застройка 2р-подоболочки, являются уже неметаллами. Восьмиэлектронная конфигурация внеш. электронной оболочки Ne (2s²p⁶) чрезвычайно прочна, поэтому неон - инертный газ. Аналогичный характер изменения свойств наблюдается у элементов третьего периода и у s- и р-элементов всех последующих периодов, однако ослабление прочности связи внешних электронов с ядром в a-подгруппах по мере роста Z определённым образом сказывается на их свойствах. Так, у s-элементов отмечается заметный рост химической активности, а у р-элементов - нарастание металлич. свойств. В Villa-подгруппе ослабляется устойчивость конфигурации ns²np⁶, вследствие чего уже Кr (четвёртый период) приобретает способность вступать в хим. соединения. Специфика р-элементов 4-6-го периодов связана также с тем, что они отделены от s-элементов совокупностями элементов, в атомах к-рых происходит застройка предшествующих электронных оболочек.

У переходных d-элементов б-подгрупп достраиваются незавершённые оболочки с п, на единицу меньшим номера периода. Конфигурация внешних оболочек у них, как правило, ns². Поэтому все d-элементы являются металлами. Аналогичная структура внешней оболочки d-элементов в каждом периоде приводит к тому, что изменение свойств d-элементов по мере роста Z не является резким и чёткое различие обнаруживается лишь в высших степенях окисления, в к-рых d-элементы проявляют определённое сходство с р-элементами соответствующих групп П. с. э. Специфика элементов VIIIб-подгруппы объясняется тем, что их d-подооолочки близки к завершению, в связи с чем эти элементы не склонны (за исключением Ru и Os) проявлять высшие степени окисления. У элементов Iб-подгруппы (Сu, Ag, Аu) d-подоболочка фактически оказывается завершённой, но ещё недостаточно стабилизированной, эти элементы проявляют и более высокие степени окисления (до III в случае Аи).

В атомах лантаноидов и актиноидов происходит достройка ранее незавершённых f -подоболочек с n, на 2 единицы меньшим номера периода; конфигурация внеш. оболочки сохраняется неизменной (ns ²); f-электроны у лантаноидов не оказывают существенного влияния на хим. свойства. Лантаноиды проявляют преим. степень окисления III (за счёт двух 6s-электронов и одного d-электрона, появляющегося в атоме La); однако такое объяснение не является достаточно удовлетворительным, т. к. 5d-электрон содержится только в атомах La, Се, Gd и Lu; поэтому считается, что в др. случаях степень окисления III обусловлена переходом одного из 4f-электронов в 5d-пoдoбoлoчку. Что касается актиноидов, то в интервале Z = 90-95 энергии связи электронов 6d и 5f оказываются весьма близкими, это объясняет способность элементов давать соединения в широком диапазоне степеней окисления - до VII у Np, Pu и Am. У актиноидов с Z > = 96 предпочтительной становится степень окисления III. Оценка хим. свойств Кu и элемента 105 позволяет считать, что в этой области П. с. э. начинается систематич. заполнение 6d-подоболочки.

Выше были в общих чертах объяснены причины и особенности периодич. изменения свойств хим. элементов по мере роста Z. Это объяснение основано на анализе закономерностей реальной схемы формирования электронных конфигураций свободных атомов. Однако знание электронной конфигурации свободного атома часто не позволяет сделать однозначный вывод о важнейших хим. свойствах, к-рые должен проявлять соответствующий элемент. Напр., внеш. электронные конфигурации атомов Не и щёлочноземельных металлов совпадают (ns²), но " сходство" гелия с последними ограничивается лишь определённой аналогией в спектрах. Поэтому принцип периодического (по мере возрастания Z) повторения сходных типов электронных конфигураций лежит в основе периодич. системы свободных атомов. Что касается П. с. э., то она отражает закономерное изменение свойств элементов, проявляемых ими при хим. взаимодействиях; в ходе последних происходит перестройка электронных конфигураций взаимодействующих атомов, иногда значительная. Поэтому между свободными и связанными атомами существует определённое различие. В целом же сходство электронных конфигураций свободных атомов коррелирует с подобием хим. поведения соответствующих элементов. Задача строгого количеств. объяснения всей специфики проявляемых хим. элементами свойств и периодичности этих свойств оказывается чрезвычайно сложной, поэтому нельзя утверждать, что создана количеств. теория П. с. э. Отд. аспекты такой теории разрабатываются в русле совр. методов квантовой механики (см. Квантовая химия, Валентность).

Верхняя граница П. с. э. пока неизвестна, поэтому неизвестно и конечное количество элементов, охватываемых П. с. э. Вопрос о пределе искусств. синтеза элементов также пока не решён. Все изотопы уже известных элементов с Z > = 101 являются короткоживущими (см. Ядерная химия). Однако существуют предположения, что ядра атомов гипотетич. элементов с Z = 114, 126, 164 и 184 будут достаточно устойчивы по отношению к спонтанному делению. Это даёт основания рассчитывать на осуществление синтеза таких элементов. Оценка электронных конфигураций и важнейших свойств неизвестных элементов седьмого периода показывает, что эти элементы, по-видимому, должны быть аналогами соответствующих элементов шестого периода. Напротив, для восьмого периода (состоящего, согласно теории, из 50 элементов) предсказывается весьма сложный характер изменения хим. свойств по мере роста Z, связанный с резким нарушением последовательности заполнения электронных подоболочек в атомах.

Значение П. с. э. П. с. э. сыграла и продолжает играть огромную роль в развитии естествознания. Она явилась важнейшим достижением атомно-молекулярного учения, позволила дать совр. определение понятия " химический элемент" и уточнить понятия о простых веществах и соединениях. Закономерности, вскрытые П. с. э., оказали существ. влияние на разработку теории строения атомов, способствовали объяснению явления изотонии. С П. с. э. связана строго науч. постановка проблемы прогнозирования в химии, что проявилось как в предсказании существования неизвестных элементов и их свойств, так и в предсказании новых особенностей хим. поведения уже открытых элементов. П. с. э.- фундамент химии, в первую очередь неорганической; она существенно помогает решению задач синтеза веществ с заранее заданными свойствами, разработке новых материалов, в частности полупроводниковых, подбору специфич. катализаторов для различных хим. процессов и т. д. П. с. э. - также науч. основа преподавания химии. Лит.: Менделеев Д. И., Периодический закон. Основные статьи, М., 1958; Кедров Б. М., Три аспекта атомистики. ч. 3. Закон Менделеева, М., 1969; Рабинович Е., Хило Э., Периодическая система элементов. История и теория, М.- Л., 1933; Карапетьянц М. X., Дракин С. И., Строение вещества, М., 1967; Астахов К. В., Современное состояние периодической системы Д. И. Менделеева, М., 1969; Кедров Б. М., Трифонов Д. Н., Закон периодичности и химические элементы. Открытия и хронология, М., 1969; Сто лет периодического закона химических элементов. Сборник статей, М., 1969; Сто лет периодического закона химических элементов. Доклады на пленарных заседаниях, М., 1971; Spronsen J. W. van, The periodic system of chemical elements. A history of the first hundred years, Amst.- L.- N. Y., 1969; Клечковский В. М., Распределение атомных электронов и правило последовательного заполнения (n + l)- групп, М., 1968; Трифонов Д. Н., О количественной интерпретации периодичности, М., 1971; Некрасов Б. В., Основы общей химии, т. 1 - 2, 3 изд., М., 1973; Кедров Б. М., Трифонов Д. Н., О современных проблемах периодической системы, М., 1974. Д. Н. Трифонов.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА в технике СВЧ, структура (система), совмещающаяся сама с собой при параллельном переносе на нек-рое конечное расстояние. Минимальная величина этого расстояния d наз. периодом. Строго говоря, П. с. бесконечны и служат идеализированными моделями для теоретич. изучения реальных объектов. На практике применяются ограниченные участки П. с., к-рые условно также наз. П. с. По числу независимых направлений переноса П. с. различают одномерно, двумерно и трёхмерно периодич. структуры - ОПС, ДПС и ТПС (рис. 1, 2). ОПС и ДПС применяются в качестве замедляющих систем, антенн, дифракционных решёток; ДПС и ТПС используют для создания линз, призм и др. устройств, определяющих направление распространения электромагнитных волн.

[ris]
Рис. 1. Одномерно периодические структуры с различными типами дисперсионных характеристик: 1 - " широкая гребёнка" в волноводе с нормальной положительной дисперсией; 2 - диафрагмированный прямоугольный волновод с отрицательной дисперсией; 3 - " меандр" в волноводе с участками аномальной и нормальной положительной дисперсии; n - коэффициент замедления; Л - длина волны.

[ris]

Рис. 2. Двумерно (а) и трёхмерно (б) периодические структуры: d¹, d², d³ - периоды структур.

Любую составляющую Л электрического и магнитного полей в точке П. с. с координатой z (направления периодичности П. с. и оси Z совпадают) можно представить в виде ряда
[ris]

каждое слагаемое к-рого наз. пространств. гармоникой. Здесь а_т - амплитуда пространств. гармоники, к-рая зависит от формы П. с.; w - круговая частота электромагнитных колебаний; t - время; бета_n= бета + (2Пи m /d-волновое число m-той пространственной гармоники; i - мнимая единица. Осн. характеристики П. с.: коэфф. замедления пространств. гармоник n_m = бета* m ^. c/w, совпадающие по определению с коэфф. преломления в оптике и численно равные отношениям фазовой скорости волны в свободном пространстве с к фазовым скоростям гармоник в П. с. w/ бета* m; групповая скорость d w /d*бета* m, направление к-рой совпадает с направлением переноса энергии электромагнитных волн; дисперсия, характеризующая зависимость коэфф. замедления n от длины волны Л в свободном пространстве (см. также Дисперсия света). По значению коэфф. замедления определяют фазовую скорость волны, а по дисперсии можно судить о групповой скорости. Фазовые скорости и коэфф. замедления пространств. гармоник различны, а их групповые скорости одинаковы.

В электронных приборах СВЧ, использующих П. с. в качестве замедляющих систем, скорость электронов обычно близка к фазовой скорости волны, а от групповой может отличаться не только по значению, но и по направлению. Совпадение направлений фазовой и групповой скоростей волны (положит. дисперсия) характерно для режима усиления колебаний, противоположные направления этих скоростей (отрицат. дисперсия) - для режима генерирования их.

Лит.: Айзенберг Г. 3., Антенны ультракоротких волн, М., 1957; Тараненко 3. И., Трохименно Я. К., Замедляющие системы, К., 1965; Силин Р. А., Сазонов В. П., Замедляющие системы, [М.], 1966. Р. А. Силин.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, значение к-рой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Напр., sin x и cos x являются П. ф. с периодом 2Пи; {х} - дробная часть числа x - П. ф. с периодом 1; показательная функция е^x (если x - комплексное переменное) - П. ф. с периодом 2 Пи iи т. п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид k T, где k = ±1, ±2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f(x) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда
[ris]

Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает, что П. ф. f(x) с периодом T [подчинённая ещё нек-рым условиям, напр. непрерывная и имеющая в интервале (О, Т) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрич. ряда (ряда Фурье) вида:
[ris]

коэффициенты этого ряда выражаются через f(x) по формулам Эйлера - Фурье (см. Тригонометрические ряды, Фурье коэффициенты).

Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T₁ и T₂, отношение к-рых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k₁ T₁ + k₂T₂, где k₁= 0, ±1, ±2,... и k₂ = 0, ± 1, ± 2,.... В этом случае П. ф. наз. двоякопериодической функцией. Рассматриваются ещё двоякопериодич. функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, к-рые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f(x + T₁) = a₁ f(x) и f(x + Т₂) = a₂f(x) или f(x + T₁) = e^a1xf(x) и f(x + T₂) = = е^a2x f(x)].

Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр.,
[ris]

не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами т. н. почти периодических функций. П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ в астрономии, см. в ст. Возмущения небесных тел.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПСИХОЗЫ, повторно возникающие психич. расстройства. Учение о П. п. зародилось в 40-х гг. 20в. и разрабатывалось преим. сов. психиатрами (Г. Е. Сухарева, Р. Я. Голант, А. 3. Розенберг, Т. Б. Никонова и др.). Заболевания связывают с наследств. предрасположением, для реализации к-рого необходим внеш. толчок - переутомление, инфекция, психич. или физич. травма. Согласно др. точке зрения, принятой в совр. психиатрии, П. п.- вариант течения шизофрении или маниакально-депрессивного психоза. В клинической картине преобладают возбуждение, тревога, страх, возможны помрачения сознания, галлюцинации. Характерны острое начало и быстрое (через 2-3 нед, иногда через неск. сут) выздоровление. П. п. хорошо поддаются лечению психотропными средствами. В межприступные периоды психика больных вполне сохранна.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений
[ris]

Это такие решения y₁= ф₁ (t), к-рые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t, т. е. для всех значений t ф₁ (t + Т) = ф_i (t), где Т> 0 - период решения. Если система (1) стационарна, т. е. функции f₁ = F₁(y₁,.... у_n), где i = 1,..., n, явным образом не зависят от t, то в фазовом пространстве (y₁,..., у_n) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя
[ris]
где
[ris]