Алгебраическая топология

Пусть каждому топологич. пространству X (из нек-рого класса ) поставлен в соответствие нек-рый алгебраич. объект h(X) (группа, кольцо и т. п. ), а каждому непрерывному отображению [ris] - нек-рый гомоморфизм h(f):

[ris] (или [ris]

являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой

[ris]

представляет собой функтор (соответственно кофункто р). Большинство задач алгебраич. Т. так или иначе связано со следующей задачей распрост ранения: для данного непрерывного отображения [ris] подпространства [ris] в нек-рое топологич. пространство [ris] найти непрерывное отображение [ris] совпадающее на А с f, т. е. такое, что [ris] где [ris] - отображение вложения (i(а) = а для любой точки [ris]. Если такое непрерывное отображение gсуществует, то для любого функтора (ко-функтора) h существует такой гомоморфизм [ris]: [ris] (гомоморфизм ф: [ris] что [ris] (соответственно [ris] им будет гомоморфизм [ris] Следовательно, несуществование гомоморфизма [ris] (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения д. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраич. Т. Напр., существует функтор h, значение к-рого на шаре [ris] является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере [ris] - нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие т. н. ретракции - непрерывного отображения [ris], неподвижного на [ris], т. е. такого, что композиция [ris] где [ris] - отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы [ris] будет композицией отображений

[ris] и [ris][ris] что при тривиальной группе [ris] невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологич. методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение [ris] имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. уравнение [ris] имеет в Еⁿ хотя бы одно решение (если [ris] для всех [ris], то, приняв за р(х) точку из S^n-1], коллинеарную точкам f (x) и x и такую, что отрезок с концами f (x) и р(х) содержит х, получим ретракцию [ris]). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраич. Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.

Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма ф тем легче, чем сложнее алгебраич. структура объектов h(X). Поэтому в алгебраич. Т. рассматриваются алгебраич. объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраич. топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.

Топологич. пространство X наз. клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или СW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств [ris] (наз. остовами клеточного пространства X), объединением к-рых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество [ris] тогда и только тогда открыто в X, когда для любого п множество [ris] открыто в [ris] получается из [ris] приклеиванием нек-рого семейства n -мерных шаров по их граничным (n - 1)-мерным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер [ris] состоит из изолированных точек. Т. о., структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества наз. клетками). В алгебраич. Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраич. Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраич. Т. интересны нек-рые особо простые клеточные пространства (типа n o лиэдров; см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров ).

Два непрерывных отображения [ris] наз. гомотопными, если они могут быть непрерывно проде-формированы друг в друга, т. е. если существует такое семейство непрерывных отображений [ris] непрерывно зависящих от параметра [ris] что [ris] (непрерывная зависимость От t означает, что формула [ris][ris] определяет непрерывное отображение [ris] это отображение, а также семейство [ris] наз. гомотопией, связывающей f с g ). Совокупность всех непрерывных отображений [ris] распадается на гомотопич. классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопич. классов непрерывных отображений из X в Y обозначается символом [X, У]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X, У] составляет предмет т. н. гомотопич. топологии (или теории гомотопий ). Для большинства интересных топологич. пространств множества [X, У] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологич. пространства X и У наз. гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопич. тип, если существуют такие непрерывные отображения [ris] что непрерывные отображения [ris] и [ris] гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопич. Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их " гомотопич. инварианты" совпадают ).

Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств ) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопич. класса непрерывного отображения [ris] точнее, если для [ris] распространение [ris] существует, то для любой гомотопии [ris] существует распространение [ris] такое, что [ris] Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопич. класс [ f ] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы ) h, т. е. такие, что [ris] если отображения f₀ и f₁ гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраич. и гомотопич. Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.

Для любого топологич. пространства У формулы [ris]

где [ris] определяют нек-рый гомотопически инвариантный кофунктор h, о к-ром говорят, что он представлен топологич. пространством У. Это - стандартный (и по существу единственный ) приём построения гомотопич. инвариантных кофунк-торов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, напр. потребовать, чтобы оно было топологич. группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в X нек-рую точку х₀и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие х₀ в единицу группы; это технич. усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться ). Более того, достаточно, чтобы У было топологич,. группой " в гомотопич. смысле", т. е. чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение нек-рых отображений ) выполнялись бы только " с точностью до гомотопии". Такие топологич. пространства наз. Н-пространствами. Т. о., каждое Н-пространство У задаёт гомотопически инвариантный кофунктор [ris] значениями к-рого являются группы.

Аналогичным (" двойственным" ) образом, каждое топологич. пространство У [ris] задаёт по формулам [ris] нек-рый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы У обладало определённой алгебраич. структурой, в нек-ром точно определённом смысле двойственной структуре Я-пространства. Топологич. пространства, наделённые этой структурой, наз. ко -Н -пространствами. Примером ко - Н -пространства является n -мерная сфера [ris] (при [ris]). Т. о., для любого топологич. пространства X формула [ris] = = [Sⁿ, X] определяет нек-рую группу п_n Х, [ris], к-рая наз. n-й гомотопич. группой пространства X. При п = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > l группа [ris] коммутативна. Если [ris], то X наз. односвязным.

Клеточное пространство X наз. пространством [ris] если [ris] = = 0 при i не =n и п _пХ = G; такое клеточное пространство существует для любого n > = 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1 ) и с точностью до гомотопич. эквивалентности определено однозначно. При n > l (а также при п = 1, если группа G коммутативна ) пространство [ris] оказывается H-пространством и потому представляет нек-рую группу [ris] Эта группа наз. n -мерной группой когомологий топологич. пространства X с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу к-рых принадлежит, напр., К-функтор [ris], представляемый т. н. бесконечномерным грассманианом ВО, группы ориентированных кобордизмов [ris] и т. п.

Если G является кольцом, то прямая сумма [ris] групп [ris] является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраич. структурой, в к-рую (при [ris] где Z_p - циклич. группа порядка р) входит действие на [ris] нек-рой некоммутативной алгебры [ris] наз. алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые ) методы вычисления групп [ris], а с другой - установить связи между группами [ris] и другими гомотопически инвариантными функторами (напр., гомотопич. группами [ris]), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

Исторически группам когомологий предшествовали т. н. группы гомологии [ris], являющиеся гомотопич. группами [ris] нек-рого клеточного пространства [ris], однозначно строящегося по клеточному пространству X и группе G. Группы гомологии и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраич. структура, имеющаяся в группах гомологии, менее привычна (напр., эти группы составляют не алгебру, а т. н. коалгебру ), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в нек-рых вопросах группы гомологии оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраич. Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологии и когомологий, наз. теорией гомологий.

Перенесение результатов алгебраич. Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет т. н. общей алгебра ц ч. Т. В частности, общая теория гомологии изучает группы гомологии и когомологий произвольных топологич. пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологич. пространств возникает целый ряд различных групп гомологии и когомологий. Осн. применения общая теория гомологии находит в теории размерности и в теории т. н. законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологич. свойствами двух дополнительных подмножеств топологич. пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.