Об уникальных алмазах СССР СМ. В ст. Алмазный фонд СССР. 32 страница

Дальнейшее совершенствование систематич. качественного анализа было выполнено франц. химиками Л. Вокленом и Л. Ж. Тенаром, нем. химиками Г, Розе и К. Р. Фрезениусом, русским химиком Н. А. Меншуткиным. В 20-30-е гг. 20 в. сов. химик Н. А. Тананаев, основываясь на значительно расширившемся наборе хим. реакций, предложил дробный метод качественного анализа, при к-ром отпадает необходимость систематич. хода анализа, разделения на группы и применения сероводорода.

Количеств, анализ первоначально основывался на реакциях осаждения определяемых элементов в виде малорастворимых соединений, массу к-рых далее взвешивали. Этот весовой (или гравиметрический) метод анализа также значительно усовершенствовался со времён Бергмана, гл. оор. за счёт улучшения весов и техники взвешивания и использования различных реактивов, в частности органических, образующих наименее растворимые соединения. В 1-й четв. 19 в. франц. учёный Ж. Л. Гей-Люссак предложил объёмный метод количественного анализа (волюмометрический), в котором вместо взвешивания измеряют объёмы растворов взаимодействующих веществ. Этот метод, наз. также методом титрования или титриметрическим, до сих пор является осн. методом количественного анализа. Он значительно расширился как за счёт увеличения числа используемых в нём хим. реакций (реакции осаждения, нейтрализации, комплексообразования, окисления-восстановления), так и за счёт использования множества индикаторов (веществ, указывающих изменениями своего цвета на окончание реакции между взаимодействующими растворами) и др. средств индикации (посредством определения различных физ. свойств растворов, напр, электропроводности или коэфф. преломления).

Анализ органич. веществ, содержащих в качестве осн. элементов углерод и водород, посредством сожжения и определения продуктов сгорания - углекислого газа и воды - впервые был проведён Лавуазье. Далее он был улучшен Ж. Л. Гей-Люссаком и Л. Ж. Тенаром и Ю. Либихом. В 1911 австр. химик Ф. Прегль разработал технику микроанализа органич. соединений, для проведения к-poro достаточно нескольких мг исходного вещества. Ввиду сложного построения молекул органич. веществ, больших их размеров (полимеры), ярко выраженной изомерии органич. анализ включает в себя не только элементный анализ - определение относит, количеств отд. элементов в молекуле, но и функциональный - определение природы и количества отд. характерных атомных группировок в молекуле. Функциональный анализ основан на характерных хим. реакциях и физ. свойствах изучаемых соединений.

Почти до сер. 20 в. анализ органич. веществ, в силу своей специфичности, развивался своими, отличными от неор-ганич. анализа путями и в учебных курсах не включался в А. х. Анализ органич. веществ рассматривался как часть органич. химии. Но затем, по мере возникновения новых, гл. обр. физ., методов анализа, широкого применения органич. реактивов в неорганич. анализе обе.эти ветви А. х. стали сближаться и ныне представляют единую общую науч. и учебную дисциплину.

А. х. как наука включает теорию хим. реакций и хим. свойств веществ и как таковая она в первый период развития общей химии совпадала с ней. Однако во 2-й пол. 19 в., когда в хим. анализе доминирующее положение занял " мокрый метод", т. е. анализ в растворах, гл. обр. водных, предметом А. х. стало изучение только таких реакций, к-рые дают аналитически ценный характерный продукт - нерастворимое или окрашенное соединение, возникающее в ходе быстрой реакции. В 1894 нем. учёный В. Оствальд впервые изложил научные основы А. х. как теорию хим. равновесия ионных реакций в водных растворах. Эта теория, дополненная результатами всего последующего развития ионной теории, стала основой А. х.

Работами рус. химиков М. А. Ильинского и Л. А. Чугаева (кон. 19 в.- нач. 20 в.) было положено начало применению органич. реактивов, характеризующихся большой специфичностью и чувствительностью, в неорганич. анализе.

Исследования показали, что для каждого неорганич. иона характерна хим. реакция с органич. соединением, содержащим определённую функциональную группировку (т. н. функционально-ана-литич. группу). Начиная с 20-х гг. 20 в. в хим. анализе стала возрастать роль инструментальных методов, снова возвращавших анализ к исследованию физ. свойств анализируемых веществ, но не тех макроскопич. свойств, к-рыми оперировал анализ в период до создания научной химии, а атомных и молекулярных свойств. Совр. А. х. широко пользуется атомными и молекулярными спектрами излучения и поглощения (видимые, ультрафиолетовые, инфракрасные, рентгеновские, радиочастотные и гамма-спектры), радиоактивностью (естественная и искусственная), масс-спектромет-рией изотопов, электрохим. свойствами ионов и молекул, адсорбц. свойствами и др. (см. Колориметрия, Люминесценция, Микрохимический анализ, Нефелометрия, Активационный анализ, Спектральный анализ, Фотометрия, Хрома-тография, Электронный парамагнитный резонанс, Электрохимические методы анализа). Применение методов анализа, основанных на этих свойствах, одинаково успешно в неорганическом и органическом анализе. Эти методы значительно углубляют возможности расшифровки состава и структуры химических соединений, качественного и количественного их определения; они позволяют доводить чувствительность определения до 10~¹²-10-¹⁵% примеси, требуют малого количества анализируемого вещества, часто могут служить для т. н. неразру-шающего контроля (т. е. не сопровождающегося разрушением пробы вещества), могут служить основой для автоматизации процессов производственного анализа.

Вместе с тем широкое распространение этих инструментальных методов ставит новые задачи перед А. х. как наукой, требует обобщения методов анализа не только на основе теории хим. реакций, но и на основе физ. теории строения атомов и молекул.

А. х., выполняющая важную роль в прогрессе хим. науки, имеет также огромное значение в контроле промышленных процессов иве. х-ве. Развитие А. х. в СССР тесно связано с индустриализацией страны и последующим общим прогрессом. Во многих вузах организованы кафедры А. х., готовящие высококвалифицированных химиков-аналитиков. Сов. учёные разрабатывают теоретич. основы А. х. и новые методы для решения научных и практич. задач. С возникновением таких отраслей, как атомная пром-сть, электроника, произ-во полупроводников, редких металлов, космохимия, одновременно появилась необходимость разработки новых тонких и тончайших методов контроля чистоты материалов, где во многих случаях содержание примесей не должно превышать одного атома на 1-10 млн. атомов производимого продукта. Все эти проблемы успешно решаются сов. химиками-аналитиками. Совершенствуются также и старые методы хим. контроля произ-ва.

Развитие А. х. как особой отрасли химии вызвало к жизни и издание спец. аналитич. журналов во всех промыщленно развитых странах мира. В СССР издаются 2 таких журн.- " Заводская лаборатория" (с 1932) и" Журнал аналитической химии" (с 1946). Имеются и специализированные междунар. журналы по отд. разделам А. х., напр, журналы по хро-матографии и по электроаналитич. химии. Специалистов по А. х. готовят на спец. отделениях университетов, химико-техноло-гич. техникумов и проф.-технич. училищ. Лит.: Алексеев В. Н., Курс качественного химического полумнкроаналпза, 4 изд., М. 1962; его же. Количественный анализ, 2 изд., М., 1958; Ляликов Ю.С., Физико-химические методы анализа, 4 изд., М., 1964; Юйнг Г. Д., Инструментальные методы химического анализа, пер. с англ., М., I960; Лурье Ю. Ю., Справочник по аналитической химии, М., 1962.

Ю. А. Клячко.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СЧЕТА, см. Аналитический учёт.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМЫ в языке, сложные, описательные словосочетания, состоящие из вспомогательного и полнозначного слова и функционирующие в качестве грамматич. формы последнего (" буду читать" -А. ф. будущего времени глагола " читать", " самый красивый" - А. ф. превосходной степени прилагательного " красивый"; англ. I have seen, франц. J'ai vu, нем. Ich habe gesehen - " видел"). А. ф. имеют то же лексич. значение, что и входящее в них полнозначное слово, либо отличаясь от него дополнительным смысловым оттенком, либо выражая определённые отношения между ним и др. членами предложения. Вспомогат. слово А. ф. не должно присоединять дополнит, лексич. значение к полнозначному слову (словосочетание " начну читать" не принадлежит к А. ф. глагола " читать", поскольку слово " начну" вносит дополнительное значение начала действия). Вспомогательное слово является постоянной, а полнозначное - переменной частью А. ф., что обеспечивает продуктивность А. ф.

А. ф. часто функционируют параллельно с синтетическими формами, образуя эквивалентные грамматич. формы (" красивее" и " более красивый" - соответственно, синтетические и А. ф. сравнительной степени прилагательного " красивый"). А. ф. слов находятся в регулярном соответствии с другими грамматич. формами этих слов и заполняют определённый пробел в структуре языка.

Иногда к А. ф. относят словосочетания, выражающие грамматич. формы (А. ф. падежа: англ. to the father, франц. au рёге - " отцу"),

Лит.: Смирницкий А. И., Аналитические формы, " Вопросы языкознания", 1956, 2; Гухман М. М., Глагольные аналитические конструкции как особый тип сочетаний частичного пли полного слова, в кн.; Вопросы грамматического строя, М., 1955; Аналитические конструкции в языках различных типов, М., 1965.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, к-рые могут быть представлены степенными рядами. Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. Аналитическими являются элементарные функции - многочлены, рациональные функции, показательная и логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические, гиперболические и им обратные, алгебраические функции, и специальные функции - эллиптические, цилиндрические и др.

Во-вторых, класс А. ф. замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа; применение арифметич. действий к функциям этого класса, решение алгебраических ур-ний с аналитич. коэфф., дифференцирование и интегрирование А. ф. приводят снова к А. ф. Наконец, А. ф. обладают важным свойством единственности; каждая А. ф. образует одно " органически связанное целое", представляет собой " единую" функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, к-рое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после установления в 1-й пол. 19 в. общей точки зрения на функцию как на произвольное соответствие.

Теория А. ф. создана в 19 в., в первую очередь благодаря работам О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. Решающую роль в построении этой теории сыграл " выход в комплексную область" - переход от действительного переменного x к комплексному переменному z == х + iу, к-рое может меняться в произвольной области комплексной плоскости. Теория А. ф. возникла как теория функций комплексного переменного; в нек-ром смысле именно аналитические (а не произвольные комплексные функции двух действительных переменных х и у) естественно считать функциями комплексного переменного г. Теория А. ф. составляет основное содержание общей теори ч функций комплексного переменного. Поэтому часто под теорией функций комплексного переменного понимают именно теорию А. ф.

Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого Коши и далеко продвинутого Риманом, лежит структурное свойство функции - существование производной по комплексному переменному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометри ч. соображениями. Другой подход, систематически развивавшийся Вейер-штрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан, тем самым, с аналитич. аппаратом, к-рым может быть изображена функция. Основной факт теории А. ф. заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.

Приведём точные определения. Всюду в дальнейшем через z обозначается комплексное число х + ГУ, где х и у - действительные числа. Геометрически число г изображается точкой плоскости с координатами х и у; евклидова плоскость, точки к-рой отождествляются с комплексными числами, наз. комплексной плоскостью. Пусть D - область (открытое связное множество) в комплексной плоскости. Если каждой точке z области D приведено в соответствие нек-рое комплексное число w, то говорят, что в области D определена (однозначная) функция f комплексного переменного z, и пишут: [ris][ris] Функция [ris] комплексного переменного[ris]может рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных х и и, определённая в области D. Полагая [ris] где [ris] - действительные числа, замечают, что задание такой функции f эквивалентно заданию двух действительных функций [ris] и [ris] двух действительных переменных х и у, определённых в той же области:

[ris]

Пусть z - фиксированная точка области D. Придадим 2 произвольное приращение [ris] (так, чтобы точка [ris] оставалась в пределах области О) и рассмотрим соответствующее приращение функции f: [ris] Если разностное отношение [ris] имеет предел при[ris] т. е. существует комплексное число А та-

[ris]

функция f наз. моногенной в точке г, а число А - её производной в этой точке; [ris] Функция, моно-генная в каждой точке области D, наз. моногенной в области D.

Если функция f моногенна в точке[ris] то f и соответствующие функции ф и пси имеют в этой точке частные производные по

[ris]

выразить через частные производные f по х и по у (достаточно вычислить предел отношения [ris] двумя разными способами - при [ris] и при [ris]); приравнивая соответствующие выражения, получаем [ris] или, что то же самое, [ris]. Переходя к функциям

[ris]и[ris], это равенство можно переписать так: [ris], [ris]. Если функция f моногенна в области D, то последние соотношения справедливы в каждой точке области D; они наз. уравнениями Коши - Римана. Следует отметить, что эти ур-ния встречались уже в 18 в. в связи с изучением функций комплексного^пере-менного в трудах Д'Аламбера и Л. Эйлера.

Моногенность функции f эквивалентна её дифференцируемости в смысле комплексного анализа. При этом под дифференцируемостью f в точке[ris] понимается возможность представления её приращения в виде[ris]

где[ris] при [ris]; дифференциал[ris] функции f в точке Z, равный главной части [ris] её приращения [ris], в этом случае пропорционален [ris] и имеет вид[ris] Полезно сравнить понятия дифференцируемости функции f - в смысле действительного анализа и в смысле комплексного анализа. В первом случае дифференциал

[ris]имеет вид [ris]. Удобно переписать это выражение в комплексной форме. Для этого переходят от независимых переменных [ris] к переменным[ris] к-рые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями: [ris]

[ris](становясь на эту точку зрения, функцию f иногда записывают в виде [ris] Выражая [ris] через [ris] по обычным правилам вычисления дифферен-

[ris]

водные функции f по z и 2 соответственно-Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции f в смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство [ris] являющееся краткой формой записи ур-ний Коши - Римана; при этом

[ris]

Равенство [ris] показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, к-рые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных [ris] и[ris] " зависят только от z", являются " функциями комплексного переменного z".

Интеграл от функции [ris] вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

[ris]

Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая интегральная теорема К о-ш и: если функция моногенна в односвязной области D, то [ris] для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, к-рые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D). Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать ннте тральную формулу Кош и: если функция f моногенна в области D и Г - простая замкнутая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью [ris] то для любой точки[ris]

[ris]

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области [ris]) Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку г₀ области D и обозначим через [ris] окружность с центром в точке [ris] и радиусом [ris], принадлежащую, вместе со всем кругом К; [ris] области D. Тогда

[ris]

Представим ядро Коши [ris] для [ris] и [ris] в виде суммы бесконечной геометрич. [ris] прогрессии:

; поэтому ряд сходится [ris] равномерно относительно[ris] при любом фиксированном [ris]); интегрируя этот

ряд - после умножения на [ris] - почленно, получают разложение функции f в степенной ряд

[ris]

[ris]

сходящийся в круге[ris]

Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f - функция, определённая в области D; она наз. аналитической (или голоморфной) в точке z₀ области, если существует окрестность этой точки (круг с центром в 2), в к-рой функция f представляется степенным рядом:

[ris]

Если это свойство имеет место в каждой точке z_n области D, то функция f наз. аналитической (голоморфной) в области D,

Выше было показано, что функция f, моногенная в области D, аналитпчна в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; напр., функция[ris] моногенна в точке z₀= 0, но нигде не анали-тична. С другой стороны, функция f, аналитическая в точке z₀ области D, моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному г; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции f в точке z₀ по формулам: [ris] Степенной ряд, записанный в[ris] форме

наз. рядом Тейлора функции f в точке z₀. Тем самым, аналитичность функции f в области D означает, что в каждой точке

области D функция f бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в нек-рой окрестности этой точки.

Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции f в области D - моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением ур-ний Коши - Римана - может служить определением аналитичности f в этой области.

Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

Если Е - произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция [ris] наз. аналитической на множестве Е, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении к-рой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f ана-литична на нек-ром открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция f, совпадающая с f на множестве Е). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, к-рые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой [ris] С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А, ф, существенно свойство связности множества Е. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т. е. на открытых и связных множествах.

Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в к-рых нарушается свойство аналитичности - т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f - А. ф. в области вида [ris]; в этой области f разлагается вряд Лорана:

[ris]

содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени [ris] Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (a_n = 0 для n= -1, -2,...), то z₀ наз. правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен полагая f(z_o) = а₀, получают [ris] функцию, аналитическую во всём круге[ris] Если ряд Лорана функции f содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями г - Zo'.

[ris]

то точка ZD наз. полюсом функции f (порядка д); полюс 2о характеризуется тем, что. В случае, если ряд Лорана [ris] содержит бесконечное число отрицательных степеней z - z₀, то z₀ наз. существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z₀ - изолированная особая точка функции f, то коэффициент a-1 в её разложении в ряд Лорана наз. вычето.м функции f в точке z₀.

Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D, наз. мероморфными в области D. Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области D функции могут быть определены как функции, к-рые в окрестности каждой точки 2„ области D представимы рядом по степеням z - z₀, содержащим конечное (зависящее от z₀) число членов с отрицательными степенями z - z₀.

Часто аналитическими в области D наз. как аналитические (голоморфные), так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции наз. также регулярными аналитическими или просто регулярными. Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей плоскости; такие функции наз. целыми. Целые функции представляются рядами вида

[ris]

сходящимися во всей комплексной плоскости. К ним относятся многочлены от z, функции

[ris]

[ris]

Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. представимые в виде отношения целых функций), наз. мероморфными функциями. Таковыми являются рациональные функции от z (отношения многочленов),,, эллиптические функции [ris] и т.[ris] д.

Для изучения А. ф. важное значение имеют связанные с ними геом. представления. Функцию [ris], [ris] можно рассматривать как отображение области D в плоскость переменного [ris] Если f есть А. ф., то образ f(D) области D также является областью (принцип сохранения облает и). Из условия комплексной дифференцируемости функции f в точке [ris] следует, что при [ris] соответствующее отображение сохраняет углы в z₀, как по абсолютному значению, так и по знаку, т. е. является конформным. Т.о., существует тесная связь между аналитичностью и важным геом. понятием конформного отображения. Если f аналитична в D и[ris] при [ris] (такие функции наз. однолистным и), то [ris] в D н f определяет взаимно однозначное и конформное отображение области D на область[ris] Теорема Римана - основная теорема теории конформных отображений - утверждает, что в любой односьязной области, граница к-рой содержит более одной точки, существуют однолистные А. ф., конформно отображающие эту область на круг или полуплоскость.

Дифференцируя ур-ния Коши - Римана, нетрудно усмотреть, что действительная и мнимая части функции[ris] аналитич. в области D, удовлетворяют в этой области ур-нию Лапласа;

[ris]

т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонич. функции, связанные между собой ур-ниями Коши - Римана, наз. сопряжёнными. В односвязной области D любая гармонич. функция ф имеет сопряжённую функцию [ris] и является, тем самым, действительной частью нек-рой аналитической в D функции f. Связи с конформными отображениями и гармонич. функциями лежат в основе многих приложений теории А. ф.

Всё сказанное выше относилось кодно-значным А. ф. f, рассматриваемым в данной области D комплексной плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолжения функции f как А. ф. в большую область, приходят к понятию А. ф., рассматриваемой в целом - во всей своей естественной области существования. При таком продолжении данной функции область её аналитичности, расширяясь, может налегать сама на себя, доставляя новые значения функции в точках плоскости, где она уже была определена. Поэтому А. ф., рассматриваемая в целом, вообще говоря, оказывается многозначной. К необходимости изучения многозначных А. ф. приводят многие вопросы теории функций (обращение функций, нахождение первообразных и построение А. ф. с заданной действительной частью - в многосвязных областях, решение алгебр, ур-ний с аналитич. коэфф. и др.);

такими функциями являются[ris][ris] Arcsin г и Arctg z, алгебр, функции и т. д. Регулярный процесс, приводящий к полной А. ф., рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.

Исходным является понятие элемента А. ф.- степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Такой элемент W₀-a₀ + а₁ (z - z₀) + а₃(z - z₀)² +... + + a_n(z - z₀)ⁿ +... определяет некоторую А. ф. f в своём круге сходимости К_с. Пусть z₁, - точка круга К₀, отличная от z₀. Разлагая Функцию f в ряд Тейлора с центром в точке z_1, получают новый элемент W₁:

которого [ris] обозначают через /С,. В общей части кругов K₀ и K₁ ряд W₁ сходится к той же функции, что и ряд W₀. Если круг K₁ выходит за пределы круга K₀, то ряд W₁ определяет функцию, заданную посредством W₀, на нек-ром множестве вне Ко (где ряд W₀ расходится). В этом случае элемент W₁ наз. непосредственным аналитич. продолжением элемента Wo. Пусть Wo, W₁.... W_N - цепочка элементов такая, что[ris]

является непосредственным аналитич. продолжением [ris] тогда

элемент W_N наз. аналитич. продолжением элемента W₀ (посредством данной цепочки элементов). Может оказаться так, что центр круга K_N принадлежит кругу К₀, но элемент W_N не является непосредственным аналитич. продолжением элемента Wo В этом случае суммы рядов W₀ и W_N в общей части кругов К₀ и К_N имеют раз-личные значения; тем самым аналитич. продолжение может привести к новым значениям функции в круге К₀.

Совокупность всех элементов, к-рые могут быть получены аналитич. продолжением элемента Wo. образует полную А. ф. (в смысле Вейерштрасса), порождённую элементом W₀; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассо-ву) область существования этой функции. Из теоремы единственности А. ф. следует, что А. ф, в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента Wo- При этом в качестве исходного может быть взят любой др. элемент, принадлежащий этой функции; полная А. ф. от этого не изменится.

Полная А. ф. f, рассматриваемая как функция точек плоскости, принадлежащих её области существования D, вообще говоря, является многозначной. Чтобы избавиться от многозначности, функцию f рассматривают не как функцию точек плоской области D, а как функцию точек нек-рой (лежащей над областью D)) многолистной поверхности R такой, что каждой точке области D соответствует столько (проектирующихся в неё) точек поверхности R, сколько различных значений принимает функция f в этой точке; на поверхности R функция f становится однозначной функцией. Идея перехода к таким поверхностям - одна из наиболее замечательных и плодотворных математич. идей - принадлежит Б. Рима-ну, а сами они носят назв. римановых поверхностей. Схематич. изображения римановых поверхностей функций

[ris]и [ris] приведены на рис. 1 и 2 (соответственно). Абстрактное определение понятия римановой поверхности позволило заменить теорию многозначных А. ф. теорией однозначных А. ф. на риманоаых поверхностях.
[ris]

Фиксируем область [ris], принадлежащую области существования D полной А. ф. f, и какой-либо элемент W функции f с центром в точке области [ris]. Совокупность всех элементов, к-рые могут быть получены ана-литич. продолжением элемента W посредством цепочек, центры к-рых принадлежат Д, наз. ветвью А. ф. f. Ветвь многозначной А. ф. может оказаться однозначной А. ф. в области [ris]. Так, напр., произвольные

ветви функций[ris] и [ris], соответствующие любой односвязной области, не содержащей точку О, являются однозначными функциями; при этом[ris]имеет ровно п, a Lnz - бесконечное множество различных ветвей в каждой такой области. Выделение однозначных ветвей (с помощью тех или иных разрезов области существования) и их изучение средствами теории однозначных А. ф. являются одним из основных приёмов исследования конкретных многозначных А. ф.