Лекции 3

Автор - Трушин А.М.

Уравнения движения реальной жидкости

В потоке реальной жидкости будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения.

Рассмотрим сначала идеализированный случай однонаправленного движения несжимаемой вязкой жидкости, в котором все скорости имеют одинаковые направления.

Выделим в потоке жидкости двигающейся параллельно оси z элементарный параллелепипед, грани которого ориентированы по осям координат (Рис.5).

Рис.5. К выводу уравнения баланса сил при одномерном движении вязкой несжимаемой жидкости

Будем считать, что скорость w_z уменьшается вдоль осей x и y. С учетом условия однонаправленности имеем

w_x = w_y = 0

Определим проекции внешних сил на ось z, действующих на элементарный объём.

Сила давления:

Сила тяжести:

Сила трения, возникающая при изменении скорости по оси x:

Сила трения при изменении скорости по оси y (на Рис.5 не показана)

При равенстве скоростей w_x и w_y нулю касательные напряжения, действующие по оси z, при изменении скорости w_z по осям x и y выражаются по закону внутреннего трения Ньютона (4).

При изменении w_z по оси x:

При изменении w_z по оси y:

Следовательно, проекция сил трения на ось z равна

Из уравнения неразрывности при w_x = w_y = 0 следует , поэтому величина ускорения равна (индивидуальная производная равна частной).

В соответствии с основным принципом динамики получим уравнение баланса сил, действующих по оси z

Сократив на величину элементарного объёма, получим уравнение баланса сил, отнесённых к единице объёма

(49)

Полученное уравнение выражает одновременно как баланс сил, так и баланс количества движения (импульса), так как левая часть уравнения (49) (произведение ускорения на массу единицы объёма) равна скорости изменения импульса в единице объёма, а правая часть этого уравнения равна потоку импульса, входящего в единицу объёма, за счёт действия внешних сил.

В общем случае, когда вектор скорости направлен произвольно, уравнения движения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости (баланса сил) в проекциях на оси координат, имеет вид

ось z:

ось x: (50)

ось y:

Эти уравнения называются системой уравнений Навье-Стокса.

Уравнение Навье-Стокса в векторной форме:

(51)

Где D - оператор Лапласа

При m = 0, уравнение Навье-Стокса переходит в уравнение Эйлера (28)

Совместное решение уравнения (51) и уравнения неразрывности (17) позволяет получить поле скоростей и давлений в движущейся несжимаемой ньютоновской жидкости.

Точные аналитические решения этой системы в силу её нелинейности удаётся найти для небольшого числа простых симметричных течений.

Получим решение этой задачи для одного из таких простых движений.

Рассмотрим стационарное ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в прямой круглой трубе, радиуса R и длины L. Расположим ось трубы по координате x. Для стационарного, однонаправленного движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности при w_z = w_y = 0 имеем , тогда

Следовательно, уравнение Навье-Стокса для оси x из системы уравнений (50) принимает вид

(52)

Для осесимметричного течения в прямой круглой трубе удобно использовать цилиндрические координаты.

Для осесимметрического неразрывного движения несжимаемой жидкости w_x зависит только от текущего радиуса трубы, , т.к , следовательно, в цилиндрических координатах имеем две переменные: радиус трубы в произвольной точке сечения (r) и длину трубы (х), причем

Найдём по правилам дифференцирования неявной функции вторые производные w_x.

Легко найти, что

, следовательно, уравнение (52) в цилиндрических координатах имеет вид

(53)

Поскольку левая часть уравнения зависит от r, а правая от х, порознь они должны быть равны некоторой константе, следовательно зависимость Р от x линейна, тогда

Для удобства интегрирования, запишем уравнение (53) в компактной форме

(54)

Граничные условия:

1) r = 0; (условие экстремума по теореме Ролля)

2) r = R; w_x = 0 (условие прилипания)

Интегрируя, получим

Из граничного условия (1) С1=0, отсюда

Из граничного условия (2) получим

, следовательно

(55)

Поскольку величина отрицательна, в технике часто рассматривают DР как разницу давлений на входе и выходе, т.е. DР = Р₁-Р₂.

Эту величину называют гидравлическим сопротивлением или потерянным давлением.

При использовании DР = Р₁-Р₂. (в виде потерянного давления) получим

(56)

Полученное параболическое распределение скорости (профиль скорости) по радиусу трубы называется уравнением Пуазейля.

Из уравнения (56) видно, что скорость по оси трубы (r = 0) имеет максимальное значение на оси трубы

Найдём среднюю скорость по поперечному сечению трубы S:

Обозначим w_{x ср} = w

Отсюда видно, что средняя скорость вдвое меньше максимальной.

Умножив величину средней скорости на площадь поперечного сечения, получим объёмный поток (расход) жидкости в трубе круглого сечения.

(57)