Порядок ДУ

Дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дано уравнение , а его решение определяется интегралом .

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее неизвестные функции независимых переменных, а также производные этих функций (или их дифференциалы).

Обыкновенное ДУ: .

Обыкновенным ДУ будет уравнение, имеющее одну независимую переменную, например x, искомую функцию y=φ (x) и производные последней:

.

Порядок ДУ

Степень ДУ.

Примеры: - ДУ первого порядка первой степени.

- ДУ второго порядка первой степени.

- ДУ первого порядка третьей степени.

Решение ДУ - это функция y=φ (x)+С, обращающая уравнение в тождество. Например, решением уравнения будет экспоненциальная функция (С – произвольная постоянная величина - константа). Действительно:

.

Общее решение ДУ: y=φ (x)+С

Это имеет место всегда, поэтому любое ДУ имеет бесконечное множество решений. Более того, в общее решение может входить несколько констант (это зависит от порядка уравнения).

Т.о. более полно общее решение ДУ определится выражением:

.

Процесс решения ДУ называется его интегрированием.

Частное решение ДУ

Линейное ДУ – в которое искомая функция и ее производные входят в первой степени (т.е. линейно), например:

. (1)

Однородное линейное ДУ – когда g(x)=0, в противном случае уравнение будет неоднородным.

Линейное ДУ первого порядка

(2)

(3)

является однородным ДУ первого порядка.