![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Статистические игры без экспериментов
ВВЕДЕНИЕ Во многих практических задачах управления приходится анализировать ситуации, в которых одной из оперирующих сторон выступает " природа", особенностью которой является безразличие к исходу операции. Несмотря на то, что в этих задачах нет сознательного противника (как, например, в случае конфликтной ситуации), сложность проблемы заключается в том, что оперирующая сторона не может представить себе образ действия " природы". Для решения таких задач используется теория статистических игр, рассматривающая две большие группы ситуаций: - статистические игры, в которых невозможно проведение экспериментов; - статистические игры с возможностью проведения экспериментов. В настоящей лабораторной работе изучаются простейшие приближенные методы решения статистических игр. Цель работы. Ознакомление с основными понятиями теории статистических игр и изучение приближенных методов решения статистических игр с возможностью проведения экспериментов и без экспериментов. ЗАДАНИЕ 1. Ознакомиться с предлагаемыми методами решения статистических 2. Реализовать подпрограмму генерации игровой ситуации, в соответствии с реализуемым методом решения игры. 3. Построить алгоритм одного из рассматриваемых методов, указанного преподавателем. 4. Разработать программу, реализующую построенный алгоритм. 5. Сделать итоговые выводы по результатам работы программы. 6. Оформить отчет о выполненной лабораторной работе, отчитаться преподавателю. ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЯЗЫКОВЫЕ СРЕДСТВА Для выполнения работы используются ПЭВМ с процессором не ниже 386. При написании программ могут использоваться такие языки программирования, как BASIC, PASCAL, С++. Статистические игры без экспериментов Ситуация с формальной точки зрения совпадает с матричной игрой, т.к. может быть задана в виде таблицы выигрышей оперирующей стороны, строки которой соответствуют нашим стратегиям xi, а столбцы - стратегиям " природы". Пj которые здесь называются возможными состояниями природы. Отличие от стратегической теории игр концептуальное: мы не можем приписать природе какой-либо осознанный или целенаправленный образ поведения. Матрица выигрышей в конкретном случае может имеет следующий вид:
Существует другой способ описания ситуации - задание матрицы риска. Для этого в каждом столбце находим максимальное значение выигрыша
Для нашего примера матрица риска такова: Возможны три ситуации, связанные с данной задачей: 1. Известны вероятности, с которыми наступает состояние " природы". 2. Вероятности не известны, но по их значениях можно судить с некоторой достоверностью (на основании нашего опыта или опыта эксперта). 3. Ничего не знаем о вероятностях. Рассмотрим первый случай. Вероятности известны, но в то же время нет никакой возможности их уточнить. В этой ситуации можно поступить следующим образом: либо максимизировать средний выигрыш, либо минимизировать средний риск. Пусть - вероятность состояний " природы" Пj (qj ® p(Пj)). Тогда средний выигрыш будет равен: a1 = 2*0.1+4*0.2+5*0.5+9*0.2=5.30; аналогиxно рассчитываем a2 и a3 a2 = 4, 50; a3 = 5, 00; Рассмотрим случай неидеального эксперимента. В этом случае мы имеем следующие исходные данные: 1. Стратегии статистика 2. Вектор состояния природы 3. Вектор априорных вероятностей 4. Матрицу выигрышей 5. Множество возможных исходов единичного эксперимента 6. Матрицу условный вероятностей W = {wij =P(Sj /Пj} 7. Стоимость эксперимента C. В этом случае необходимо решить два вопроса: 1. Целесообразно ли проводить эксперимент? 2. Если проводить эксперимент целесообразно, то определить, какая из стратегий должна быть выбрана в качестве оптимальной. Если в результате эксперимента возникает ситуация, то используя формулу Байеса, можно рассчитать апостериорные вероятности: Определяем для каждой стратегии средний выигрыш с учетом постериорных вероятностей: aji -условный средний выигрыш от стратегии при условии, что эксперимент дал результат S1. Находим соответствующий оптимально-средний выигрыш: где il-номер стратегии при исходе S1. Для усреднения этого результата по всем возможным исходам нужно найти вероятности каждого исхода: Находим средний выигрыш при условии проведения эксперимента: Необходимо сравнить полученный результат C: Очевидно, что эксперимент следует проводить при условии: Решающее правило задается формулой (*). Если правило (***) не выполняется, то необходимо пользоваться формулой (**). Пример: Дана матрица платежей: Таблица 1.
Таблица 2.
Если эксперимент не проводить, то по первой таблице мы можем легко определить оптимальную стратегию с выигрышем 5.3. Перейдем к определению условно максимально средних выигрышей a1 и условно оптимальной стратегии xil. Начинаем с исхода S1. Определим апостериорные вероятности v11 , v21, v31, v41: Теперь вместо первой таблицы мы имеем таблицу для исхода S1.
Итак, обрабатывая эту таблицу по известному алгоритму, мы находим, что для условно оптимальная стратегия il=2, условно максимальный выигрыш a1=5.385. Аналогично для S2
Аналогично для S3
Получаем: Для S2 условно максимальный выигрыш a1=5.559 Для S3 условно максимальный выигрыш a1=5.55.
![]() Таким образом, максимальный средний выигрыш составит: aэкс=0.46*5.385+0.42*5.559+5.55*0.2 = 5.92, согласно (**), а = 5.3, С < aэкс - a = 5.92-5.3=0.62. Можно сделать вывод о целесообразности проведения эксперимента в случае, когда С < 0.62.
|