Свойства эквивалентных бесконечно малых функций

1) , .

2) Если и то , .

3) Если , то , .

4) Если и и , то и или .

Следствие: а) если и , то и ;

б) если и , то .

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел .

Так как и при , то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

.

Пример. Найти предел .

Так как при , то .

Пример. Найти предел

Если и - бесконечно малые при , причем - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .

В этом случае говорят, что является главной частью бесконечно малой функции .

Пример. Функция – бесконечно малая при , – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем , , тогда

.