Пример 3. Вычисления, основанные на законах Рауля и Вант-Гоффа

1. Рассчитайте, какую массу фенола С₆Н₅ОН следует растворить в 370 г диэтилового эфира (С₂Н₅)₂О при постоянной температуре, чтобы понизить давление насыщенных паров растворителя от 90 кПа до 75 кПа.

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся выражением первого закона Рауля Δ Р/Р₀ = χ, где Р₀ – давление насыщенных паров диэтилового эфира над чистым растворителем, равное 90 кПа; Δ Р – разность давлений паров над растворителем и раствором, Δ Р = 90 – 75 = 15 кПа; χ – молярная доля фенола в эфире, определяемая по уравнению χ = n/(n + n₀).

Определим вначале молярную долю фенола: χ (С₆Н₅ОН) = 15/90 = 0, 167. Подставим найденное значение в уравнение для χ, преобразовав его относительно количества вещества фенола, и решим его:

0, 167·n + 0, 167·n₀ = n; n – 0, 167·n = 0, 167·n₀ или 0, 833·n= 0, 167·n₀

и окончательно n = 0, 2·n₀.

В полученном выражении количества вещества фенола и эфира заменим их значениями через m и М и преобразуем уравнение относительно неизвестной массы растворенного в эфире фенола:

m(C₆H₅OH)/M(C₆H₅OH) = 0, 2·m(C₂H₅)₂O/M(C₂H₅)₂O, откуда

m(C₆H₅OH) = M(C₆H₅OH)·0, 2·m(C₂H₅)₂O/M(C₂H₅)₂O.

Подставим в найденное выражение физическую массу эфира и молярные массы фенола и эфира, предварительно рассчитав их, получим:

М(С₆Н₅ОН) = 6·12 + 6·1 + 16 = 94 г/моль; М(С₂Н₅)₂О = 4·12 + 10·1 + 16 = 74 г/моль; m(C₆H₅OH) = (94·0, 2·370)/74 = 94 г.

Ответ: m(C₆H₅OH) = 94 г.

2. Определите температуру кипения 15%-го водного раствора пропилового спирта С₃Н₇ОН.

Решение. Для решения используем математическое выражение второго закона Рауля (Δ Т_кип = k_Э·С_m. В этом уравнении Δ Т_кип = Т_кип(р-ра) – Т_кип(Н₂О); С_m– моляльная концентрация раствора,

С_m = m(C₃H₇OH)/[M(C₃H₇OH)·m(H₂O)·10^-3] моль/кг.

Для расчета моляльной концентрации используем данные условия задачи (в 100 г 15% раствора спирта содержатся 15 г спирта и 85 г воды) и молярную массу пропилового спирта (М(С₃Н₇ОН) = 12·3 + 8·1 + 16 = 60 г/моль): С_m = 15/(60·85·10^-3) = 2, 94 моль/кг.

Теперь рассчитаем температуру кипения раствора, используя справочные данные для эбулиоскопической постоянной воды Т_кип(Н₂О) = 373 К; k_Э (Н₂О) = 0, 52⁰:

Т_кип(р-ра) = Δ Т_кип + Т_кип(Н₂О) = (0, 52·2, 94) + 373 = 374, 53 К.

Ответ: раствор кипит при температуре 374, 53 К.

3. Массовые доли углерода, водорода и серы, входящих в состав неизвестного вещества, соответственно равны(%): 39, 34; 8, 20; 52, 46. Раствор, содержащий 0, 2 г этого вещества в 26 г бензола, кристаллизуется при температуре на 0, 318⁰ ниже, чем чистый растворитель. Определите формулу неизвестного вещества.

Решение. На основе данных криоскопии, используя 2-й закон Рауля, рассчитаем молярную массу неизвестного вещества по уравнению:

Δ Т_кр = k_К·С_m= k_K(C₆H₆)·m(в-ва)/[M(в-ва)·m(C₆H₆)·10^-3],

преобразовав его предварительно относительно М(в-ва) и воспользовавшись справочным значением k_K(C₆H₆) = 5, 12⁰:

M(в-ва) = k_K(C₆H₆)·m(в-ва)/[Δ Т_кр·m(C₆H₆)·10^-3],

откуда M(в-ва) = (5, 12·0, 2)/(0, 318·26·10^-3) = 124 г/моль.

На основании данных о составе вещества определим его простейшую формулу:

n_С = ω _С/М_С = 39, 34/12 = 3, 28; n_Н = ω _Н/М_Н = 8, 20/1 = 8, 20; n_S = ω _S/М_S = 52, 46/32 = 1, 64. Отсюда n_С ÷ n_Н ÷ n_S = 3, 28 ÷ 8, 20 ÷ 1, 64 = 2 ÷ 5 ÷ 1 и простейшая формула неизвестного вещества будет иметь вид С₂Н₅S.

Рассчитаем молярную массу простейшей формулы и сравним с найденным ранее значением М(в-ва): М(С₂Н₅S) = 12·2 + 5·1 + 32 = 61 г/моль и она в 2 раза меньше М(в-ва). Значит, в простейшей формуле все индексы необходимо удвоить, тогда получим истинную формулу вещества: С₄Н₁₀S₂.

Ответ: формула неизвестного вещества С₄Н₁₀S₂.

4. Определите, будут ли изотоничны водные растворы глюкозы и этилового спирта, если их массовые доли составляют 20% для глюкозы и 5% для спирта.

Решение. Изотоническими называются растворы с одинаковым значением осмотического давления, которое рассчитывается по закону Вант-Гоффа: π = С_µRT, где π – осмотическое давление; С_µ –молярная концентрация раствора; Т – температура, R – универсальная газовая постоянная Ридберга (R = 8, 31 Па·м³/моль·К).

Для расчета π (С₆Н₁₂О₆) и π (С₂Н₅ОН) необходимо вначале определить их молярные концентрации по уравнениюС_μ = m/(M·V), преобразованному с учетом пересчета концентрации растворов с массовой доли на С_μ : m = ω ·V·ρ и тогда

С_μ = (ω ·V·ρ)/(M·V) = (ω ·ρ)/М.

Произведем расчеты по этому уравнению, зная, что М(С₆Н₁₂О₆) = 180 г/моль, М(С₂Н₅ОН) = 46 г/моль, а плотности растворов при соответствующих массовых долях, согласно справочным данным, равны ρ (С₆Н₁₂О₆) = 1, 081 г/мл; ρ (С₂Н₅ОН) = 0, 990 г/мл:

С_μ (р-ра С₆Н₁₂О₆) = (0, 20·1, 081·10³)/180 = 1, 20 моль/л;

С_μ (р-ра С₂Н₅ОН) = (0, 05·0, 990·10³)/46 = 1, 08 моль/л.

Дальнейшие расчеты можно не проводить, т.к в выражении для осмотического давления сомножитель RT у обоих растворов одинаковый. В связи с тем, что С_μ (р-ра С₆Н₁₂О₆) > С_μ (р-ра С₂Н₅ОН), то и осмотическое давление раствора глюкозы больше осмотического давления раствора спирта, т.е. π (р-ра С₆Н₁₂О₆) > π (р-ра С₂Н₅ОН) и растворы не изотоничны.

Ответ: растворы не изотоничны, π (р-ра С₆Н₁₂О₆) > π (р-ра С₂Н₅ОН).

5. Определите, при какой температуре осмотическое давление раствора, содержащего 18, 6 г анилина С₆Н₅NН₂ в 3 л раствора, достигнет 2, 84·10⁵ Па.

Решение. Для расчета используем уравнение закона Вант-Гоффа, преобразовав его относительно температуры раствора: Т = π /R·Cμ = (π ·M·V)/(R·m).

Решим это уравнение, подставив в него значение М(С₆Н₅NН₂) = 93 г/моль:

Т = (2, 84·10⁵·93·3)/(8, 31·10³·18, 6) = 512, 6 К.

Ответ: при температуре 512, 6 К.