Лінійний гармонічний осцилятор

Дата додавання: 2015-06-05; переглядів: 44| Порушення авторських прав

Лінійний гармонічний осцилятор− це частинка, яка здійснює одновимірні гармонічні коливання під дією квазіупружної сили вздовж прямої лінії за законом:

.

Нехай гармонічний осцилятор здійснює коливання вздовж певної лінії. Розглянемо для такого осцилятора рівняння Шредінгера:

.

Потенційна енергія такої частинки має вигляд

де , − циклічна частота.

Для спрощення виразу введемо такі заміни:

; ,

Так як рух здійснюється вздовж осі х, рівняння Шредінгера математично можна представити у вигляді:

.

Нехай . Перетворимо :

;

;

.

Замінимо змінні, які ми ввели:

.

Поділимо обидві частини на β:

,

тут . Оскільки , а , маємо:

,

тобто

.

Це рівняння має розв’язки лише при , .

Враховуючи попередні позначення, маємо:

,

або ж

. (2.3)

Це є енергія лінійного гармонійного осцилятора, яка квантується (це випливає з рівняння Шредінгера).

У класичній механіці вважалось, що при абсолютному нулі тепловий рух у системі припиняється, тобто енергія системи теж дорівнюватиме нулю. Проте за квантовими уявленнями, як показано вище, навіть при найменшому значенні n, що вказує на енергетичний рівень, енергія буде дорівнювати

, (2.4)

проте ця енергія не пов’язана з тепловим рухом системи.

Знайдемо відстань між сусідніми енергетичними рівнями:

.

Вона однакова і залежить тільки від власної частоти коливань осцилятора.

Висновки: енергія осцилятора квантується; енергія осцилятора квантується за певним законом (рів. 2.3); існує мінімальне значення енергії осцилятора, якої його не можна (рів. 2.4) позбавити за жодних умов, навіть охолодженням до абсолютного нуля: Т = 0.

Існування нульової енергії і відповідних їй «нульових коливань» осцилятора експериментально підтверджено при розсіюванні світла кристалами за наднизьких температур. Існування нульової енергії осцилятора має глибоке філософське значення: рух матерії не припиняється ніколи.

Наявністю нульової енергії можна пояснити, чому гелій поблизу абсолютного нуля може залишатися в рідкому стані. З одного боку, сили взаємодії атомів гелію дуже слабкі (газ інертний); з другого – завдяки малій масі атомів власна частота таких осциляторів, а отже, і нульова енергія їх значна. З цих причин атоми гелію навіть при абсолютному нулі досить інтенсивно рухаються і гелій залишається в рідкому стані.

Зауваження. Модель гармонічного осцилятора дає змогу пояснити явище дисперсії світла, механізм теплового випромінювання.