Теоретическая часть. Определение:Функция вида называется сложной функцией, составленной из функ­ций и , или суперпозицией функций и .

Определение: Функция вида называется сложной функцией, составленной из функ­ций и , или суперпозицией функций и.

Пример: Функция есть сложная функция, составленная из функций и .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u) - внешняя функция, где u = g(x) - промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой перемен­ной, а u - промежуточным аргументом.

Теорема: Если функция дифференци­руема в некоторой точке х ₀, а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в данной точке x₀.

При этом

или

Пример 1. Функция получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: :

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Обозначив в «уме» , получим . Найдем: и .

По формуле имеем

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 4. а) Найти производную функции .

Решение.

б) Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 7. Найти производную функции .

Решение.

Пример 8. Найти производную функции .

Решение.

Контрольные вопросы

1. Определение производной.

2. Правила и формулы дифференцирования.

3. Понятие сложной функции.

4. Правило нахождения производной сложной функции.