Частотный критерий устойчивости Михайлова

Пусть дан характеристический полином замкнутой системы вида Проведя замену р на jω, получим выражение

где …- вещественная функция Михайлова;

…- мнимая функция Михайлова.

При изменении частоты конец вектора прочертит на комплексной плоскости некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова [1].

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении 0< ω < ∞ вектор годографа Михайлова повернулся против часовой стрелки вокруг начала координат, нигде не обращаясь в ноль, на угол Δ φ =(π n/2), где n – порядок системы.

Как видно из выражений для вещественной и мнимой функций Михайлова, для устойчивой системы на частоте ω =0 годограф Михайлова берет свое начало на вещественной положительной полуоси. При изменении частоты 0< ω < ∞ годограф Михайлова проходит n квадрантов против часовой стрелки, поочередно пересекая вещественную и мнимую оси (см. рис 3.1).

Рис. 3.1. Годограф Михайлова

В эти моменты, соответственно, то мнимая V(ω), то вещественная U(ω) функции Михайлова обращаются в ноль. Причем на частоте ω =0 именно мнимая функция Михайлова равна нулю V(0)=0.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной функций чередовались, т.е.

где

Пример 3.1.

С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, представленной на рис1.1.

Решение.

Характеристический полином данной системы имеет вид Проведем замену р на jω Выделем вещественную и мнимую функции Михайлова:

.

Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю . Решая это уравнение, получим следующее значение ω _в=31.62 с^-1.

Для нахождения корней мнимой функции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω _м1=0 с^-1, ω _м2=10.45 с^-1. Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 0< 10.45< 31.62, то есть ω _м1< ω _м2< ω _в. Таким образом, данная система является неустойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова не чередуются.

Пример 3.2.

С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, если характеристический полином имеет вид

Решение.

Проведем замену р на jω

Выделим вещественную и мнимую функции Михайлова:

.

Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю Решая это уравнение, получим следующие значения ω _в1=1.41 с^-1, ω _в2=9.9 с^-1.

Для нахождения корней мнимой функции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω _м1=0 с^-1, ω _м2=3.2 с^-1, ω _м3=18 с^-1. Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 0< 1.4< 3.2< 9.9< 18, то есть ω _м1< ω _в1< ω _м2< ω _в2< ω _м3. Таким образом, данная система является устойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова чередуются.