Метод Симпсона

Практическая работа №9.

Численное интегрирование.

Цель работы. Научится применять численные методы интегрирования для вычисления определенных интегралов от функций, заданных аналитическим выражением и таблично; оценить точность различных методов Ньютона-Котеса при фиксированном шаге интегрирования; составить программы для вычисления определенных интегралов с заданной точностью.

Оформление отчета

Отчет по лабораторной работе выполняется в виде связного (читаемого) текста в тетради (12 листов) в клетку. Он должен включать:

· название предмета, номер и название лабораторной работы

· фамилию и инициалы автора, номер группы

· фамилию и инициалы преподавателя

· номер варианта

· краткое описание исследуемой системы

· результаты выполнения всех пунктов задания, графики, ответы на контрольные вопросы.

· Все схемы и графики должны быть выполнены с использованием карандаша и чертежных инструментов (линейки, циркуля)

Краткие теоретические сведения

Метод Симпсона

Вычисление интегралов встречается при моделировании довольно часто. Численные методы интегрирования обычно применяются при взятии «не берущихся» интегралов от сложных функций или функций, заданных таблично.

Концепция численного интегрирования. Все методы численные интегрирования основываются на том, что подынтегральная функция приближенно заменяется более простой (горизонтальной или наклонной прямой, параболой), от которой интеграл легко берется. В результате имеем формулы интегрирования, которые называют квадратурными, в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функции в отдельных точках:

[3.1]

Чем больше интервалов, на которых производят замену, тем точнее вычисляется интеграл. Все методы различаются лишь значением ординат и весов .

Сравнение эффективности различных методов производится по степени полинома, который данный метод интегрируется. Чем выше степень этого полинома, который данным методом интегрируется. Чем выше степень этого полинома, тем эффективнее метод.

Простейшие методы численного интегрирования. К этим методам относятся методы прямоугольников и трапеций. В первом случае подынтегральная функция заменяются горизонтальной прямой , а во втором – наклонной .

Формула интегрирования при разбиении отрезка на частей:

для одного участка интегрирования

[3.2], шаг [3.3], [3.4];

для нескольких участков интегрирования

[3.5].

Погрешность вычисления интеграла численными методами определяется с использованием двойного просчета. Сперва производят вычисление интеграла при разбиении интервала интегрирования на участков. Затем количество участков увеличивают в 2 раза, и снова производят вычисление интеграла. Если разница между вычислении интеграла в первом и втором случае больше некоторого наперед заданного значения, количество участков увеличивают в 2 раза и вычисления повторяют.

Метод Симпсона. Метод базируется на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится по трем точкам на каждом участке. При этом по этим же точкам строится полином, который аналитически интегрируется. На рис. 3.1 приведен пример вычисления интеграла по методу Симпсона для одного участка.

[3.6], [3.7], [3.8],

где - шаг интегрирования.

Запишем интерполяционный полином Лагранжа для трех точек.

[3.9].

Проинтегрируем функцию [3.9] с учетом [3.6] – [3.8].

При работе с этим методом обязательно разбивают интервал на четное количество участков. Погрешность вычисления интеграла определяется также с помощью двойного просчета.

Метод Ньютона-Котеса. Данный метод является обобщением предыдущих, построен на аналогичных принципах и предполагает замену подынтегральной функции параболой k-порядка. Расчетная формула для одного участка имеет вид:

, - коэффициенты Ньютона-Котеса, - количество использующихся ординат на участке (начиная с 0).

Все предыдущие формулы являются частным случаем формулы Ньютона-Котеса.

(метод трапеций)

(метод Симпсона)

Вычисление определенных интегралов типа I=ò f(x)dx выполняется функциями quad и quad8, имеющие формат

quad(‘fn’, a, b)

quad8(‘fn’, a, b)

a, b - пределы интегрирования, fn - имя м-функции для вычисления подынтегральной функции.

Функция quad использует квадратурные формулы Ньютона - Котеса 2-го порядка, функция quad8 - формулы 8-го порядка.

Например, необходимо вычислить интеграл

Для составления м-функции необходимо запустить редактор/отладчик м-файлов. Это можно сделать командой

> > edit

Далее необходимо в окне редактирования набрать следующий код

function yprime = fn(t);

yprime = 1./(1+t.^2);

Обратите внимание. Здесь перед знаком математических операций стоят точки, что необходимо для того, чтобы MATLAB производил операции с столбцом t, как с массивом, а не как с матрицей, иначе будет выдано сообщение об ошибке (о не допустимости проведения данных матричных операций). Файл необходимо сохранить под именем fn.m.

Далее наберите команду в рабочем окне

» quad8('fn', 1, 2)

и в результате имеем

ans =

0.3218