Критерий устойчивости Михайлова.

Был сформулирован Михайловым в 1938 г., он базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной.

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс , который получается из характеристического полинома

Заменой p на и имеет вид

Выделим мнимую и вещественную части, а также модуль и фазу:

При конкретном численном значении частоты характеристический комплекс представляет собой комплексное число , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой

При изменении от 0 до конец вектора выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова. Причем начинается Причем начинается годограф в точке .

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от от 0 до начинался на вещественной оси в точке и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты Аналитически это можно записать в виде

Здесь - частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.

Пример:

Проверить устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рисунке.

И запишем ее характеристический полином

Перейдем к выражению годографа Михайлова

И представим его в форме

Построим таблицу при конкретных значениях частоты

			1, 22	1, 41	…
				-1	…	-
			0.61		…	-

По данным таблицы построим годограф Михайлова.

Годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в нуль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, система устойчива.