Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Про обозначенияСтр 1 из 2Следующая ⇒
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ù, Ú,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение). Что нужно знать: · условные обозначения логических операций A, не A (отрицание, инверсия) A Ù B, A и B (логическое умножение, конъюнкция) A Ú B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция) A → B импликация (следование) · таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика») · операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»: A → B = A Ú B или в других обозначениях A → B = · если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация» · иногда полезны формулы де Моргана[1]: (A Ù B) = A Ú B (A Ú B) = A Ù B Пример задания: Р-15. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5; 30] и Q = [14; 23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Решение: 1) Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q 2) перейдем к более простым обозначениям 3) раскрываем импликацию по формуле : 4) поскольку это выражение должно быть равно 1, то должно быть истинным (и, следовательно, – ложным!) везде, где ложно ; 5) таким образом, может быть истинным только там, где истинно 6) выражение истинно на двух отрезках, которые входят в и не входят в , на рисунке они обозначены жёлтым цветом: 7) значение может быть истинным только внутри отрезков, выделенных желтым цветом; но поскольку – это отрезок, его наибольшая длина – это длина наибольшего из «жёлтых» отрезков, то есть, 14 – 5 = 9 (длина второго отрезка равна 30 – 23 = 7). 8) Ответ: 9. Ещё пример задания: Р-14. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x Î {4, 8, 12, 116}) Ù (x Î A)) → (x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12})) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A. Решение: 9) Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116} 10) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q 11) перейдем к более простым обозначениям 12) раскрываем обе импликации по формуле : 13) теперь используем закон де Моргана : 14) поскольку это выражение должно быть равно 1, то A должно быть истинным везде, где ложно 15) тогда минимальное допустимое множество A – это (по закону де Моргана) 16) переходим ко множествам = {4, 8, 12, 116} = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 17) тогда – это все натуральные числа, которые входят одновременно в и ; они выделены жёлтым цветом: {4, 8, 12} 18) именно эти числа и должны быть «перекрыть» множеством А min, поэтому минимальный состав множества A – это А min = {4, 8, 12}, сумма этих чисел равна 24 19) Ответ: 24. Пример задания: Р-13. На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Решение: 1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q 2) перейдем к более простым обозначениям 3) раскрываем обе импликации по формуле : 4) теперь используем закон де Моргана : 5) в таком виде выражение уже смотрится совсем не страшно; Сразу видно, что отрезок должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область : 6) по рисунку видно, что не перекрыт только отрезок [40; 60] (он выделен жёлтым цветом), его длина – 20, это и есть правильный ответ. 7) Ответ: 20. Ещё пример задания: Р-12. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение ((x Î P) Ù (x Î A)) → ((x Î Q) Ù (x Î A)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [5, 20] 2) [15, 35] 3) [25, 45] 4) [5, 65] Решение: 1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q 2) перейдем к более простым обозначениям
|