Анализ стержня на устойчивость

РГР №5

Стальной стержень длиной l сжимается силой F (рис.21).

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении на центральное сжатие , пользуясь методом последовательных приближений.

2. Найти величину критической силы, если предельная гибкость равна .

Найти коэффициент запаса устойчивости.

Исходные данные:

, , , (μ – коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня).

Решение.

I. Находим размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении на центральное сжатие , пользуясь методом последовательных приближений.

· Записываем выражение для определения площади поперечного сечения стержня из условия устойчивости.

Условие устойчивости ,

тогда ,

(1)

где - коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие, или коэффициент продольного изгиба.

В расчётной формуле (1) имеются две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь A. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

· Для упрощения расчётов выполним вспомогательные преобразования.

Так как проектируемое сечение сложное, минимальный момент инерции (потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости) определяется следующим образом:

.

Площадь поперечного сечения:

,
тогда .	(2)

Минимальный радиус инерции:

	(3)

· Выполняем первое приближение. В первом приближении коэффициент продольного изгиба обычно принимают , тогда

.

Используя соотношения (2) и (3), получим:

,
.

Тогда расчётная гибкость колонны:

.

По таблице определяем значение коэффициента , соответствующего гибкости .

Путём линейной интерполяции:

.

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении. Для этого вычислим рабочие напряжения первого приближения:

.

Затем определим допускаемые напряжения по устойчивости в первом приближении:

.

Из приведённых вычислений следует, что условие устойчивости не выполняется, так как:

.

В этом случае перенапряжение составляет:

,

что недопустимо. Следовательно, необходимо второе приближение.

· Выполняем второе приближение. Во втором приближении коэффициент продольного изгиба:

.

Тогда площадь сечения:

.
Диаметр: ,
радиус инерции: .

Гибкость колонны:

.

Определяем значение коэффициента , соответствующего этой гибкости.

.

Проверим выполнение условия устойчивости во втором приближении. Для этого вычислим рабочие напряжения второго приближения:

.

Затем определим допускаемые напряжения по устойчивости во втором приближении:

Из приведённых вычислений следует, что условие устойчивости не выполняется, так как:

.

В этом случае перенапряжение составляет:

,

что опять недопустимо, так как перенапряжение превышает 5%. Следовательно, необходимо третье приближение.

· Выполняем третье приближение. В третьем приближении коэффициент продольного изгиба:

.

Тогда площадь сечения:

.
Диаметр: ,
радиус инерции: .

Гибкость колонны:

.

Определяем значение коэффициента , соответствующего этой гибкости.

.

Проверим выполнение условия устойчивости в третьем приближении. Для этого вычислим рабочие напряжения третьего приближения:

.

Затем определим допускаемые напряжения по устойчивости в третьем приближении:

.
.

Из чего следует, что условие устойчивости не выполняется, однако перенапряжение составляет:

.

что допустимо, так как оно не превышает 5%. То есть, окончательно принимаем:

следовательно, сечение имеет размеры 72× 108 см,

,
.

II. Находим величину критической силы.

Так как , то есть , то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

.

III. Находим коэффициент запаса устойчивости.

.