Расчет модовой дисперсии

Для того, чтобы рассчитать зависимость времени распространения светового луча в световоде от угла к его оси, нужно определить траекторию луча, а затем рассчитать время распространения светового луча по этой траектории. Поскольку показатель преломления в сердцевине функция расстояния от оси, скорость распространения непостоянна и время прохождения световым лучом световода находится суммированием бесконечно малых временных промежутков, в течение которых можно считать скорость света постоянной.

Предельный угол на входе световода (am) под которым свет может распространяется при условии полного внутреннего отражения найден в предыдущем пункте. Эта величина позволяет выяснить значения углов, которые будут использоваться в расчете. Угол различен для различных значений неоднородности b, и для различных законов изменения показателя преломления в сердцевине. Для световода с гиперболическим законом изменения показателя преломления в сердцевине следует am уменьшить в два раза. Иначе последующие расчеты могут оказаться ошибочными.

В соответствии с заданием расчет времени задержки будем проводить при четырех значениях угла. Пусть это будут углы: δ = (am, 5am/6, 4am/6, 3am/6, 2am/6, am/6 и 0). При первых шести значениях угла нужно знать траекторию светового луча, а в седьмом случае она известна - луч перемещается по оси световода. В этом последнем случае время распространения луча можно найти довольно просто. Для этого нужно разделить длину световода на скорость света на его оси (с – скорость света):

Теперь возьмемся за расчет времени задержки при других значениях угла. Для этого сначала рассчитаем траекторию луча. Решим с помощью программы Mathcad дифференциальное уравнение параксиальных лучей (1.4):

(м4)

Будем считать, что свет поступает в световод точно по центру (r₀ = 0) под углом a к оси z (dr/dz = sin a при z=0). Это определит начальные условия для решения дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение нужно решать для различных законов изменения коэффициента преломления в сердцевине и для различных коэффициентов неоднородности b. Вся система расчетов повторяется для углов a_i = (am, 5am/6, 4am/6, 3am/6, 2am/6, am/6) а затем для угла 0 по другому алгоритму.

Чтобы решить уравнение сначала нужно задать исходные данные. Их можно взять из первой части работы. Оттуда же берем три закона изменения показателя преломления в световодах (всех, кроме ступенчатого). Для решения дифференциального уравнения второго порядка (см. приемы работы с программой Mathcad) нужны матрица r начальных условий и матрица D, задающая значение первой и второй производной. Поскольку угол, который образует входящий луч с осью световода, изменяется, то изменяются и начальные условия. Поэтому начальные условия зададим в виде массива матриц. Вид матрицы для второй производной не изменяется. Поэтому она одинакова во всех вариантах.

где n(r) – закон изменения показателя преломления в поперечном сечении световода, r₀ и r₁ – начальное значение функции и ее производной. В этих выражениях нужно так и писать r₀ и r₁.

Для световодов со степенным законом изменения показателя преломления следует взять выражение для показателя преломления в сердцевине: n(r) = n_{c I}, а для световода с гиперболическим законом изменения показателя преломления в сердцевине:

где nс(r) – закон изменения показателя преломления в сердцевине,

Определив таким образом все выражения, необходимые для решения дифференциального уравнения, рассчитаем модовую дисперсию в световоде. Расчет будем проводить по такой схеме.

· Учитывая, то, что световой луч перемещается периодической кривой, определим длину полупериода по координате по оси z, в которой он впервые пересечет ось.

· Рассчитаем время, нужное свету для того, чтобы пройти эти пол периода

· Рассчитаем число таких полупериодов в одном километре.

· Рассчитаем время, необходимое свету для прохождения одного километра при угле входа отличном от нуля.

· Рассчитаем время, необходимое свету для прохождения одного километра при угле входа равном нулю.

Рисунок 4 – Расчет квадратичного показателя преломления в сердечнике световода

а)

б)

Рисунок 5 – Графики кривых, которые описывает свет: а) при b=0.002, б) при b=0.01

Рисунок 6 – Расчет квадратичного показателя преломления в сердечнике световода

Рисунок 7 – Расчет четвертой степени показателя преломления в сердечнике световода

а)

б)

Рисунок 8 – Графики кривых, которые описывает свет: а) при b=0.002, б) при b=0.01

Рисунок 9 – Расчет четвертой степени показателя преломления в сердечнике световода

Рисунок 10 – Расчет гиперболического показателя преломления в сердечнике световода

а)

б)

Рисунок 11 – Графики кривых, которые описывает свет: а) при b=0.002, б) при b=0.01

Рисунок 12 – Расчет гиперболического показателя преломления в сердечнике световода

а)

б)

Рисунок 13 – Графики времени прохождения световой волны в зависимости от угла вхождения: а) при b=0.002, б) при b=0.01