Метод Крамера

Рішення СЛАР (6) знаходиться за формулам Крамера

(9)

де det A = ï A ï - визначник матриці (3) системи (головний визначник), det A_i = ï A_i ï, (i = 1, 2, …, n) – визначники матриць A_i (допоміжні визначники), які виходять з A заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів B (5). Лінійна алгебраїчна система несумісна (не має рішень), якщо detA=0. Для даної СЛАР (7) допоміжні матриці мають наступний вигляд

(10)

Розмістимо їх на робочому листі (рис. 2). Причому зробимо це не шляхом простого копіювання відповідних значень, а введенням формул з використанням абсолютних посилань (рис. 3) на елементи матриці A з інтервалу A3: C5 і елементи вектора B з інтервалу D3: D5 (мал. 1). По-перше, це прискорить процес введення матриць A_i (i = 1, 2, 3) (формули вводимо тільки в інтервал A11: C13 матриці A1 і в інтервал E11: E13 першого стовпця матриці A2, далі ж будемо їх блоками тільки копіювати: A11: A13 в F11: F13 і в K11: K13, B11: B13 в J11: J13, C11: C13 в G11: G13, E11: E13 в I11: I13). По-друге, це зробить проектовану таблицю універсальною в тому сенсі, що можна буде змінювати тільки початкові дані (матрицю системи A в інтервалі A3: C5 і вектор-стовпець вільних членів B в D3: D5), а все інше (у тому числі і рішення СЛАР) автоматично обчислюватиметься.

Далі, скориставшись функцією МОПРЕД(матриця), обчислимо визначників всіх матриць (рис. 4).

Аналогічна формула (=МОПРЕД(A3: C5)) для обчислення визначника матриці A записана в комірку E8. Залишилося по формулах Крамера (9) знайти рішення системи (7). Відповідні формули Excel запишемо в інтервал рішення B7: B9 (рис. 5), в якому і побачимо результат (рис.6). Зверніть увагу на те (рис.5), що при обчисленні x_i (i = 1, 2, 3) аналізується значення визначника матриці системи A, обчислене в комірці E8, і, якщо воно рівне нулю (система несумісна), то в B7 поміщається текст «Рішення немає», а в комірках B8 і B9 – порожні рядки.

.4. Матричний спосіб рішення

Матричний спосіб рішення СЛАР (6) достатньо простий. Обидві частини матричної рівності (2) помножимо зліва на зворотну матрицю А ^-1. Отримаємо A ^-1´ A ´ X = A ^-1´ B. Оскільки A ^-1´ A = E, де E – одинична матриця (діагональна матриця, у якої по головній діагоналі розташовані одиниці). Тоді рішення системи (2) запишеться в наступному вигляді

X = A ^-1 ´ B. (11)

Тобто для розв’язання системи (2) (обчислення вектора - стовпця X (4)) необхідно знайти для матриці A (3) зворотну A^-1 і помножити її справа на вектор-стовпець B (5) вільних членів. Для цього, скориставшись функціями Excel МУМНОЖ(матрица1; матрица2) і МОБР(матриця), введемо в інтервал B7: B9 наступного робочого листа (Лист2) табличну, тобто використовуючи для введення комбінацію Ctrl+Shift+Enter, формулу =МУМНОЖ(МОБР(A3: C5); D3: D5). В результаті в рядку формул побачимо {=МУМНОЖ(МОБР(A3: C5); D3: D5)}, а в інтервалі B7: B9 – рішення, таке саме, як і у попередньому випадку (рис. 6).

2.5. Пошук рішення

Широкий клас економічних задач складають задачі оптимізації. Задачі оптимізації припускають пошук значень аргументів, що доставляють функції, яку називають цільовою, мінімальне або максимальне значення за наявності яких-небудь додаткових обмежень. MS Excel має в своєму розпорядженні могутній засіб для рішення оптимізаційних задач. Це інструмент-надбудова, який називається Поиск решения (Solver) [5]. Поиск решения (Solver) доступний через меню Сервис/Поиск решения.

Задачу рішення СЛАР (1) можна звести до оптимізаційнї задачі. Для чого одне з рівнянь (наприклад, перше) взяти за цільову функцію, а решта n-1, що залишилися, розглядати як обмеження. Запишемо систему (1) у вигляді

(12)

Тоді задача оптимізації для Поиска решения може звучати наступним чином. Знайти значення X = (x₁, x₂, …, x_n) ^T, що доставляють нуль функції, що стоїть зліва в першому рівнянні системи (12), при n-1 обмеженнях, представлених рівняннями, що залишилися.

Для розв’язання цієї задачі необхідно записати вираз (формули) для обчислення значень функцій, що стоять зліва в рівняннях системи (12). Відведемо під ці формули інтервал C7: C9 поточного робочого листа (Лист3). У комірку C7 введемо формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 і скопіюємо її в C8 і C9. У них з'являться відповідно =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 і =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5. Залишилося, звернувшись до пункту меню Сервис/Поиск решения, у вікні діалогу (рис. 7) задати параметри пошуку (встановити цільову комірку C7 рівною нулю, рішення в змінних комірках B7: B9, обмеження задані формулами в комірках C8 і С9). Після клацання по кнопці Выполнить в интервале B7: B9 отримаємо результат (рис. 8) – рішення СЛАР (7).

На завершення роботи можна захистити комірки створених таблиць від несанкціонованої, часто випадкової, зміни і приховати формули, по яких знаходиться рішення СЛАР. Для цього існує стандартний засіб Excel – пункт меню Сервис/Защита/Защитить лист. Перед цим необхідно зняти захист з комірок, що містять початкові дані (A3: C5 – елементи матриці A (8), і D3: D5 – елементи вектора В), виділивши ці інтервали, вибравши меню Формат/Ячейки вкладка Защита і скинувши прапорець Защищаемая ячейка. Для комірок, що містять формули, треба в цьому діалозі (Формат ячеек) встановити прапорець Скрыть формулы. Треба знати, що після такого захисту неможливо буде скористатися засобом Поиск решения. Тому захистити комірки і приховати формули можна на першому і другому листах. У разі потреби можна приховати і інформацію, що відображається в комірках, поставивши у відповідність цим коміркам призначений для користувача формат;;; (три крапки з комою).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

1. Розв’язати наступні рівняння:

1) 2sin(x) – x + 0.5 = 0; 2) arctg(1/3x²) = 0;

3) sin(x/4) + 1 - (1/x²) = 0; 4) tg(0.58*x + 0.1) - x^2 = 0

2. Відповідно до номера варіанту виберіть з приведених нижче систему лінійних алгебраїчних рівнянь четвертого (n=4) порядку. Приведіть її до нормального вигляду (1). Розробіть таблиці Excel для вирішення вибраної СЛАР трьома різними способами:

1) методом Крамера;

2) матричним способом;

3) використовуючи Поиск решения.

Варіанти систем лінійних рівнянь алгебри:

Правильність отриманих рішень легко перевірити. В результаті рішення вибраної СЛАР трьома різними способами повинні вийти три однакові рішення.