Определитель матрицы. Обратная матрица.

Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Теорема

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощьюэлементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Пример

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что

Ответ.

Замечание

Если на некотором этапе в " левой" матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.