![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.
Пространства со скалярным произведением. Действительное линейное пространство E называется евклидовым пространством, если каждой паре векторов x и y из Eпоставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у)и называемое скалярн ым произведением векторов x и y причем выполнены следующие условия 1) (x, y) = (y, x); 2) (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y); 3) (λ x, y) = λ (x, y) 4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Длиной вектора x называется число Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным. Для любых векторов x, у евклидова пространства справедливо неравенство Коши− Буняковского Cauchy-Schwarz inequality. The inequality for sums was published by Augustin-Louis Cauchy (1821), while the corresponding inequality for integrals was first proved by Viktor Bunyakovsky (1859). The modern proof of the integral inequality was given by Hermann Amandus Schwarz (1888) Ненулевые векторы Базис B = (e 1,..., e n) n -мерного евклидова пространства Если в пространстве Jø rgen Pedersen Gram (1850 – 1916). The mathematical method that bears his name, the Gram–Schmidt process, was first published in the former paper, in 1883. Erhard Schmidt (1876 – 1959). The method is named after Jø rgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt but it appeared earlier in the work of Laplace and Cauchy. Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (а), 4.64 (а), 4.65 (а, б), 4.67–4.76 (неч.) 4.63. Пусть х = (х 1, х 2)и у = (у 1, y 2)произвольные векторы арифметического пространства R 2. Показать, что скалярное произведение в R 2 можно определить следующими способами: а) (х, у) = 2 х 1 y 1 + 5 x 2 y 2; Вычислить скалярное произведение векторов х = (1, − 2) и y = (5, 1) каждым из указанных способов. 4.64. Доказать, что в пространстве P п многочленов степени ≤ n − 1 скалярное произведение многочленов
можно определить способами: а) (p, q) = a0b0 + a 1 b 1 +...+an- 1 bn- 1; Вычислить скалярное произведение многочленов 4.65. а) Доказать, что в пространстве C [ a, b ] соотношение: б) Написать неравенство Коши − Буняковского для этого пространства. Применить процесс ортогонализации к следующим системам векторов евклидова пространства R n: 4.67. f 1 = (1, 1, 1, 1), f 2 = (3, 3, − 1, − 1), f 3 = (− 2, 0, 6, 8). 4.69. f 1 = (1, 2, 2, − 1), f 2 = (1, 1, − 5, 3), f 3 = (3, 2, 8, − 7) Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в евклидовом пространстве R n: 4.71. f 1 = (1, 2, 2, − 1), f 2 = (1, 1, − 5, 3), f 3 = (3, 2, 8, − 7). Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве R n и дополнить их до ортогональных базисов: 4.73*. e 1 = (1, − 2, 1, 3), e 2 = (2, 1, − 3, 1). 4.75. e 1 = (2/3, 1/3, 2/3), e 2 = (1/3, 2/3, − 2/3). Домашнее задание: 4.63 (б), 4.64 (б), 4.65 (в), 4.67–4.76 (четн.) 4.63. б) (х, у) = х 1 y 1 + x 1 y 2 + х 2 y 1 + х 2 y 2. 4.64. б) 4.65. в) Написать неравенства треугольника для этого пространства. 4.68. f 1 = (1, 2, 1, 3), f 2 = (4, 1, 1, 1), f 3 = (3, 1, 1, 0). 4.70*. f 1 = (2, 1, 3, − 1), f 2 = (7, 4, 3, − 3), f 3 = (1, 1, − 6, 0), f 4 = (5, 7, 7, 8). 4.72. f 1 = (2, 1, 3, − 1), f 2 = (7, 4, 3, − 3), f 3 = (1, 1, − 6, 0), f 4 = (5, 7, 7, 8). 4.74. e 1 = (1, 1, 1, 1, 1), e 2 = (1. 0, 0, 1, − 2), е 3 = (2, 1, − 1, 0, 2). 4.76. e 1 = (1, 1, 1, 2), e 2 = (1, 2, 3, − 3).
Ответы:
|