Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

Под функцией мы понимаем отображение одного множества на другое. До сих пор мы рассматривали функцию вида , которая реализовывала отображение множества на оси абсцисс (область определения функции) на множество на оси ординат (множество значений функции ).

Под функцией нескольких переменных мы будем понимать отображение множества в -мерном евклидовом пространстве (область определения функции) на множество на оси (множество значений функции). Тем самым функция нескольких переменных может быть записана в виде , где - элемент евклидова пространства. Можно использовать запись .

Изучая функцию одной переменной , мы изучали числовые последовательности, предел числовой последовательности, предел функции, непрерывность функции, точки экстремума функции.

Наша цель – построить и изучить аналогичную теорию для ФМП. Этот раздел посвящен вопросам, связанным с пределами и непрерывностью функций.

Давайте вспомним, что такое предел функции одной переменной. Предел функции (по Коши) при , стремящимся к , равен , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше наперед заданного числа ( ).

Для того, чтобы дать это и аналогичные определения для ФМП, надо ввести расстояние между точками – аргументами ФНП (=ФМП). Это делают следующим образом. Пусть начало координат с ортонормированным базисом находится в точке и заданы две точки и . Рассмотрим векторы , и определим скалярное произведение этих векторов формулой . Несложно проверить, что все свойства скалярного произведения выполнены. Именно так и принято вводить скалярное произведение в евклидовом пространстве.

При наличии скалярного произведения, которое гарантированно есть в евклидовом пространстве, можно ввести длину вектора и расстояние между точками евклидова пространства, что позволяет обобщить понятия предела последовательности, предела функции, непрерывности функции на случай ФНП.

Длиной вектора мы назовем квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. . Расстоянием между точками и равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Заметим, что это определение обобщает обычное расстояние между точками на плоскости и в пространстве, известные нам из школы.

Пример 1. Расстояние между точками и на плоскости равно длине вектора , их соединяющего, т. е. . Расстояние между точками и в пространстве равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Сформулируем определение предела для последовательности точек в евклидовом пространстве.

Определение 1. Пусть задана последовательность точек , , …, , …. Мы будем говорить, что число является пределом этой последовательности, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой что при выполнении условия выполнено условие . ( ).

Пример 2. Заметим, что условию удовлетворяют точки -окрестности точки . В одномерном случае для функции одной переменной окрестностью точки на оси является интервал длины . Для плоскости – пространства размерности 2 такой -окрестностью является внутренность круга радиуса . Для реально пространства – пространства размерности 3 такой -окрестностью является внутренность шара радиуса .

Сформулируем определение предела для ФНП.

Определение 2. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что число является пределом этой функции, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше . Формально это записывается в виде: .

Это определение соответствует определению предела функции одной переменной по Коши, которое эквивалентно определению предела функции по Гейне. Формулировка определения предела функции по Гейне, которая сохраняется для функции нескольких переменных, заключается в записи . Смысл этого в том, что означает с учетом области определения, что из того, что предел последовательности аргументов равен , следует, что предел соответствующих значений функции равен .

Перейдем к определению непрерывности ФНП. Здесь полностью сохраняются формулировки определения непрерывности для функции одной переменной. Функция непрерывна в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке. Запишем это формально.

Определение 3. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что функция непрерывна в точке , если .

Соответственно функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 3. Найдите пределы функций: а) , б) и исследуйте функции в) , г) на непрерывность.

Докажем, что не существует. В самом деле, пусть мы приближаемся к предельной точке по прямой . На этой прямой значение функции равно , т. е. во всех точках, кроме предельной, равно . Эта величина зависит от , следовательно, не существует.