Дифференцирование сложной функции многих переменных

Для функции одной переменной производная сложной функции равна, грубо говоря, произведению производных соответствующих функций. Более точная формулировка правила вычисления производной сложной функции будет нами дана для ряда конкретных случаев ФНП. В общем случае дана функция от переменных, каждая из которых является функцией от переменных, т. е. , .

Как всегда, начнем с функции двух переменных , в которой сами аргументы являются функциями двух других переменных. Пусть, например, , и надо вычислить частные производные , . Как разобраться в тех формулах, которые возникают в подобных ситуациях? Мы будем предполагать, что все функции дифференцируемы в рассматриваемых точках. Для функции запишем ее полное приращение . Поделим обе части этого равенства на и перейдем в полученном соотношении к пределу при . Предел величины равен , если предел правой части существует. В правой части , , , следовательно, предел правой части существует и справедливо равенство . Совершенно аналогично доказывается вторая формула .

Вернемся к общему случаю , , . В этом случае .