Примерные экзаменационные задания

1. Заданы множества A = {1, 4, 7, 8}, B = {3, 4, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 8}. Построить множества M₁ = AÈ B, M₂ = (AÇ B)\C, M₃ = ADB, определить их мощность.

2. В троллейбусном парке имеется 60 троллейбусов. Из них по только маршруту №5 ходит 11 троллейбусов, только по маршруту №10 – 17, а только по маршруту №15 – 10. На маршрутах №5 и №10 могут задействовать 8 троллейбусов, из которых 5 ходят еще и по маршруту №15.Одновременно на маршрутах №5 и №15 может быть задействовано 9 троллейбусов. Сколько троллейбусов может ходить по каждому маршруту в отдельности, если 4 троллейбуса находятся в ремонте?

3. Построить таблицу истинности функции .

4. Построить таблицу истинности функции .

5. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) г)

д) е)

6. Найти производные :

а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з)

7. Найти производную указанного порядка:

а) ; б)

8. Написать уравнение нормали и касательной к кривым в указанных точках:

а) в точке (1; 2); б) в точке пересечения с осью ОХ.

9. Найти dy:

10. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

11. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функций:

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

13. Найти асимптоты функций:

14. Найти промежутки выпуклости и вогнутости функций, точки перегиба:

15. Вычислить определитель: .

16. Найти матрицу, обратную данной: .

17. Найти матрицу, обратную данной: .

18. Решить матричное уравнение: .

19. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) матричным методом; б) методом Крамера; в) методом Гаусса; методом Жордана-Гаусса.

20. Решить однородную СЛАУ:

21. Найти решение матричного многочлена f (x): , если .

22. Написать разложение вектора d по векторам a, b, c.

d ={3; 3; -6}, a ={3; 1; 0}, b ={-1; 0; 6}, c ={-1; 2; 0}.

23. Найти косинус угла между векторами AB и AC.

A =(-4; 4; 4), B =(3; 1; 0), C=(-1; 0; 6).

24. Вычислить площадь треугольника с вершинами A =(-4; 4; 4), B =(3; 1; 0), C =(-1; 0; 6).

25. Компланарны ли векторы a ={-3; 2; 1}, b ={3; 1; 2}, c ={3; -1; 4}?

26. Заданы два вектора в пространстве: a ={0; 1; 1}, b ={-2; 0; 1}. Найти:

а) их сумму;

б) их разность; косинус угла между ними;

в) их векторное произведение.

27. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых и .

28. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если
А (–4; 2), В (3; –5) и С (5; 0).

29. Дан треугольник с вершинами А (3; 1), В (–3; –1) С (5; –12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.

30. Привести уравнение к каноническому виду и построить:

; .

31. Построить линию: . Записать данное уравнение в декартовых координатах.