Лекция 10. Расчет статически неопределимых систем методом сил. Статически неопределимые системы и их свойства

Статически неопределимыми называются системы, которые не могут быть рассчитаны с использованием только условий равновесия. Для их расчета необходимо составлять дополнительные уравнения, характеризующие деформацию данной системы.

В статически неопределимых системах имеются так называемые лишние связи, т. е. связи, которые необходимо удалить из статически неопределимой системы, чтобы получить систему статически определимую и геометрически неизменяемую.

Статически неопределимые системы экономичнее статически определимых. Недостатком статически неопределимых систем является их чувствительность к осадкам опор, к температурным воздействиям и неточности изготовления отдельных элементов системы.

Например, простая балка при осадке опор займет новое положение, оставаясь прямолинейной и не испытывая никаких добавочных напряжений, в статически неопределимой неразрезной балке, осадка опоры будет сопровождаться искривлением оси балки и появлением добавочных напряжений.

а)
б)
в) чувствительность к перепаду температур

Степень статической неопределимости

Степень статической неопределимости определяется количеством лишних связей системы.

Количество лишних связей системы:

Здесь С_оn – число опорных связей;

Ш_о – число простых шарниров;

Д – число дисков в системе.

Если рама состоит из К замкнутых контуров, имеющих шарниры, то статической неопределимости такой рамы необходимо определять.

Здесь К – число замкнутых контуров;

Ш_о – число простых шарниров.

Замкнутый контур трижды статически неопределим, а простой шарнир уменьшает кол-во связей на единицу.

Основная система метода сил

Основной называется система, которая получается из заданной статически неопределимой системы путем отбрасывания лишних опорных или внутренних связей. Основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

Способы образования:

1.Можно отбросить лишние опорные связи и по направлению каждой отброшенной связи приложить соответствующую неизвестную реакцию;

2.Можно разрезать сплошной брус, в сечении приложить опорные моменты, поперечные и продольные силы;

3.Можно удалять одну внутреннюю связь, путем введения на ось жесткого шарнира. По обе стороны от шарнира следует прикладывать парные моменты;

4.Можно сделать разрез по шарниру, это равносильно удалению двух связей. По обе стороны разреза прикладывают парные поперечные и продольные силы.

5.Можно разрезать стержень с шарнирным закреплением концов, при этом прикладываются только продольные силы, т.к. такой стержень работает только на сжатие или растяжение.

Примечание: необходимо различать связи абсолютно необходимые и условно необходимые. Абсолютно необходимые – это связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой.

Пример образования основной системы:

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе перемещения по направлению отброшенных связей (горизонтальное и вертикальное) равны нулю. В основной системе эти же перемещения могут быть как = 0 так и ≠ 0.

Для того, чтобы заданная система и основная были равноценны в смысле перемещений и усилий, необходимо, чтобы перемещение по направлению отброшенных связей в основной системе, от действия внешней нагрузки и реакций отброшенных связей были = 0.

Т.е., для рассматриваемого случая:

Если обозначить , а и т.д., то система канонических ур-ний запишется:

здесь переменная по направлению i от действия х_к=1;

переменная по направлению i от действия внешней нагрузки;

Определяют перемещения по интегралу Мора, учитывая влияние на перемещение только изгибающих моментов, т. е.: