Ответ: 4 м; 8 м.

Математика 2013 год

ALMA University

Вариант 0001

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби, приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю 30. Тогда получаем:

2. 6x2+x-7=0. Требуется найти сумму корней уравнения. Конечно, вы можете продемонстрировать свое умение решать квадратные уравнения, благо, что места для этого в вашем тестовике хватит, но, думаю, никто не оценит этого! А вот если вы вспомните теорему Виета, а именно, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком … тогда – да! Вы сэкономите время и устно решите это задание. Ах, да – приведенного квадратного уравнения (с первым коэффициентом 1), а у нас первый коэффициент равен 6. Разделим обе части равенства на 6 и получим х2+(1/6)х-(7/6)=0. Второй коэффициент этого приведенного уравнения равен (1/6), а сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, значит, х1+х2= -(1/6). Ответ: -1/6.

3. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Если обозначим ширину через х, то длина будет 2х (длина вдвое больше ширины), а площадь S=2х·х=2x2. После увеличения ширины на 3 м, ширина будет равна (х+3), а длина остается такой равной 2х. Тогда площадь станет равной 2х·(х+3), что по условию больше на 24 м2. Составим уравнение.

2х·(х+3)=2x2 +24;

2x2 +6х=2x2 +24;

6х=24 |: 6

x=4. Ширина прямоугольника 4 метра, а длина в 2 раза больше, т.е. 8 метров.

Ответ: 4 м; 8 м.

Можно и короче найти правильный ответ. Смотрим данные после задания ответы ВСЕГДА С САМОГО НАЧАЛА. Ответ А) 8 м; 4 м. Рассуждаем: площадь будет равна 8·4=32. Если ширину увеличили на 3, то она стала равной 4+3=7 м. Соответственно площадь стала 8·7=56. Посчитаем разницу: 56-32=24. Подходит? Да. Значит, ответ А).

4. |1-x|> 3. Дано неравенство с модулем. Модуль — это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу.

Следовательно, расстояние от нуля до числа (1-х) должно быть больше, чем три единичных отрезка. Так как расстояние от нуля можно взять и влево и вправо, то подходят значения меньшие минус трех и значения, большие трех. Получаем совокупность неравенств:

5. Понижаем степень косинуса по формуле: 1+ cos2α =2cos2α. Учитываем, что у нас половинный аргумент.

Получается: 1+cosα -cosα =1. Ответ: 1.

6. Будем решать систему уравнений методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную у через х. Получим у=2π -х. Это значение у подставим в 1-ое уравнение:

cosx+cos(2π -x)=1. Используем формулу приведения для cos(2π -x). Угол (2π -x) находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому, знак не меняется. На кофункцию не меняем, так как (π /2) взято четное число раз (2π =4·(π /2)).

cosx+cosx=1;

2cosx=1;

cosx=1/2;

x= ±arccos(1/2)+2π n, nєZ;

x=±(π /3)+2π n, nєZ. Получаем: x1=-(π /3)+2π n, x2=π /3+2π n.

Каждому значению х соответствует свое значение у.

Если x1=-(π /3)+2π n, то y1 =2π -x1=2π +π /3-2π n =π /3+2π (1-n).

Если x2=π /3+2π n, то y2 =2π -x2=2π -π /3-2π n =-(π /3)+2π (1-n). Ответ: С).

7. Требуется найти первый и пятый члены геометрической прогрессии со знаменателем q=1/3 и суммой первых пяти членов прогрессии, равной 121. Используем формулы Sn - суммы первых n членов геометрической прогрессии и bn — формулу n-го члена геометрической прогрессии.

8. Для решения этого задания используем формулы: